2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示ppt配套的教案及板书设计

平面向量的正交分解和坐标表示

【教学目标】

(1).了解平面向量的基本定理及其意义；

(2).理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示; (3).掌握平面向量正交分解。

[教学重点难点]

重点

平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解；

难点 平面向量基本定理的运用. 【教学过程】

☆情境引入☆

在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？

【新课教学】

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj…………○1

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a(x,y)…………○2

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，2式○叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).

1

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

【讲解范例】：

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 例2 已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 【课堂练习】：

1．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

22．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

.

2

3．已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，O为原点，若a＝OA→，求x，y的值．

【课堂小结】

1、平面向量基本定理、两向量的夹角；

2、对基本定理的理解

3、向量的坐标的概念；

4、应用定理的关键是掌握向量的加法法则和向量共线定理。

【课后作业】

1．若O (0,0)，A(1,2)，且OA→′＝2OA→，则A′点坐标为(

) A．(1,4)

B．(2,2)

C．(2,4)

D．(4,2) 2．已知AB→＝(5，－3)，C(－1,3)，CD→＝2AB→，则点D坐标是(

) A．(11,9)

B．(4,0)

C．(9,3)

D．(9，－3) 3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(

) A．3a＋b

B．3a－b

C．a＋3b

D．－a＋3b

4．在平行四边形ABCD中，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则AD→＝______.(用坐标表示) 5.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,1)．求OB→的坐标．

6．已知a－12b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(

) A．(－2，－2)

B．(2,2) C．(－2,2)

D．(2，－2) 8．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．

设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．

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