探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质课时教案

《正弦函数、余弦函数图像的性质》教学设计

1.4.2 正弦函数、余弦函…

高中数学

人教A版2003课标版

1教学目标

（1）知识层面：结合正弦曲线、余弦曲线，师生共同探索发现和归纳正（余）弦函数的性质，让学生学会正确表述正、余函数的单调性和对称性,同时体会数形结合的思想方法。

（2）能力层面：通过在教师引导下探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发展打下基础。

（3）情感层面：通过数形结合思想方法的运用，让学生体会（数学）问题从抽象到形象的转化过程与方法，体会数学之美，激发学生学习数学的信心和兴趣。

2学情分析

（1）因为高一学生有定的抽象思维能力，而形象思维占有不可替代的地位，更容易被他们接受和理解，所以要紧紧抓住数形结合方法进行探索。

（2）因为本班学生普遍知识基础薄弱，对数学科特别是函数内容的学习有畏难情绪，所以在内容上要降低深难度。

（3）学会方法比获得知识更重要，本节课着眼于新知识的探索过程与方法

?•8;1;?• ?•16;?•2;?•V519;@?•/19;体会（数学）问题从抽象到形象的转化过程与方法，体会数学之美，激发学生学习数学的信心和兴趣。

3重点难点

重点：师生共同探索，归纳、总结出正、余函数的性质，在探索过程中体会数形结合思想方法。

难点：对周期函数定义、正（余）弦函数的单调区间和对称性的理解

4教学过程 4.1 48正弦函数、余弦函数的图象和性质（2） 教学活动

活动1【导入】环节一

教

师

活

动

学

生

活

动

——（提出问题，引导学生观察、思考、归纳、总结，解答学生疑问）

——（带着问题探索新知，思考、答问、笔记、提问）

讲述：同学们在初中以及高一第二章都学过函数知识，本

章继续学习三角函数，到了高三还要进一步研究它。函数是中

学数学的重要内容。很多同学都说，函数是数学科中最难学和听讲、思考、回忆函数学习的内容，为什么难学呢？主要是因为太抽象。怎样才能使函数内经历，作好本课学习的准备。

容形象呢？答案是借助图象，实际上我们对函数的学习一直就

没有离开过它的图象。这就是我们说的数形结合。著名数学家

华罗庚有诗云：“……数缺形时少直观,形少数时难入微；数

形结合百般好，隔裂分家万事休……”说明了数形结合的重要

性。

这节课我们将用数形结合的方法研究正弦函数和余弦函

数的性质

，这将使本节内容的学习变得十分直观形象，轻松

有趣，请跟我来——

动2【活动】新知探索

环（一）弦函数的图象和性质

节二

新

知

探

索

新

观察、复习什么是正弦曲线，什么是正弦线。

1．

展示正弦函数y＝sinx，x∈R的图象

2．y＝sinx，x∈R的性质

（1）定义域、值域；

提示：在前面4.3节我们已经知道正弦函数的定义回忆4.3节内容，观察正弦曲线，结合图象理解正弦函数定域为R，根据正弦线的大小可得正弦函数值域为［－1，1］。义域、值域。

当且仅当x=－＋2kπ,

k∈Z时取得最小值-1；当且仅当x=

＋2kπ,

k∈Z时取得最大值1。

反应在图象上可以看出正弦曲线左右无限，而上下有界。

又称为有界函数。

填表(见板书设计，学生人手

一份)

（2）周期性；

由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx，(k∈Z)知：

正弦

函数值是按照一定规律不断重复地取得的这就是一类

特殊的函数——周期函数。

阅读课本56页周期函数的定义，勾书

周期函数的定义（P56）一般地，对于函数f(x)，如果存在注意关键词：“定义域内的每一个值”、“都”、“如果…一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)存在…”

思考反例.

＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数

的周期

思考:什么样的周期函数无最小正周期?

注意：a.定义中的关键字；举反例：sin（+）= sin成笔记:常值函数是周期函数但没有最小正周期.

立吗？能否说是y＝sinx的周期？

b. 显然，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈

填表

Z且k≠0)都是正弦函数的周期。2π是它的最小正周期

c.有些周期函数没有最小正周期，如常值函数y=a,x

∈R.

思考：

什么是单调区间？正弦函数

授

课

新

在R单调吗？

研究正弦函数的单调，也就是要找到正弦函数的单调正弦函数的单调区间有什么区间——增区间和减区间

特点？

由于y＝sinx的周期性，其单调区间也是按照一定规观察正弦函数在［－］上的部分，律重复出现的。

说出其单调增区间。

先在一个周期（长度为2π的闭区间）［－］上易知单调

单调增区间有无数个，这些区增区间为［－，］根据周期性特点和图形可知，每隔一个周期（2π）增间有什么共同特点？如何表示这些区间？

区间重复出现。所以这些区间跟区间［－，］的距离为2kπ

所有减区间如何表示？

(k∈Z)（k个同期），因此所有增区间表为［－＋2kπ，＋2k

k∈Z的含义与作用是什么？

π］(k∈Z)；它表示无穷多个区间，如k=0时即［－，］，k=1

时，即［，］。

填表

说明：a.每个增区间的长度相等为半个周期；

b.增区间的右侧紧接着是其减区间，减区间长度也为半个周期，

所有减区间表为［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)

思考：

c.当然也可以类似增区间的方法得出减区间。

构成正弦曲线的基本结构是什么形状？

常见的两种对称是什么？

（4）对称性

(3)

单调性;

观察正弦曲线：找出它的对称轴并用直线方程和点的上节我们考察了正弦曲线的细部特征（如图），现在结合和对称中心，坐标表示出来。

图象来研究它的对称性，从两种对称（轴对称和中心对称）去探讨。

思考：

根据正弦曲线的细部特征（基本形状）和整体特征（周各对称轴之间有何关期性）不难发现：

系？

各对称中心之间有a.凡过图象最高（低）点与y轴平行的直线都是正弦何关系？

对称轴（中心）与对称中心（轴）的关系如曲线的对称轴。这些直线（有无数条）可表示为x＝＋kπ，何？

（k∈Z）.它们之间的距离是k个半周期（kπ），相邻两条这些对称轴包括y轴吗？这对称轴的距离为半周期（π）.

些对称中心包括原点吗？正b.凡与横轴（直线x=0）的交点都是正弦曲线的对称中弦函数是奇函数还是偶函心。这些点（有无数个）可表示为（kπ,0）,k∈Z.它们之数？为什么？

间的距离是k个半周期（kπ）,相邻的两个对称中心之间

的距离是半周期（π）.

如何用奇函数的定义判断正c.对称轴与对称中心交替出现，相邻的轴与中心的距弦函数是奇函数？

填表

离是周期（）

知

d.原点是正弦函数的对称中心，所以正弦函数是奇函

数。事实上根据奇函数定义也可以判断它为奇函数：∵

sin(－x)＝－sinx

∴

y＝sinx为奇函数。

观察正弦曲线，在最靠近原点

的地方找出它的一个最小点。

思考：其它最小点与这个最小

点的横向距离是多少？怎样（5）最值点、零值点；

表示所有这些最小点？

探

最大值点呢？零值点呢？

显然(-,-1)是它的一个最小值点，而根据周期性知，其

最值点、零值点跟对称轴、对

它最小点与这个点的横向距离是一个周期，因此所有最小称中心以及单调区间的端点

有什么联系？

点的坐标为（－＋2kπ，-1）,(k∈Z).

填表

同理：所有最大点坐标为（＋2kπ，

1），(k∈Z).

所有零点表示为（kπ,0）, (k∈Z).

结合图象及前面性质（3）（4）说明：

索

a.最点就是图象在单调区间上的两个端点，过每个最1．根据正弦函数的研究方

点作y轴的平行线都是对称轴；

法与思路，自主探索余弦函

b.零点是图象在单调区间的正中间取得的点，每个零数的性质；

点都是对称中心。

2．提出疑问

（二）余弦函数的图象和性质

3．填表

展示余弦函数y＝cosx

，x∈R的图象

新

知探

索

巡回指导、答疑、纠错

做练习题，提出疑问。

总结整理本节内容与方法

布置课堂练习题P63

1、2、选作6、7、

环

提示：结合图象，注意k∈Z不能漏写。

节补充配套练习：利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下

列条件的x的集合：

三

解：（1）作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象：

巩

由图形可以得到，满足条件的x的集合为： （2）略

固

练

习

1．

根据板书进行小结：

（1）

浏览回顾知识点：

（2）

本课的方法与思想——抓住周期性特点，充

分利用数形结合来研究问题，使抽象问题形听讲、复习、笔记（记作业与

象化；

思考题）

（3）

交待4.8节课时安排。

环节四

2.布置课外作业：XT 4.8

4.5.7.9.

3.思考题：正弦函数与余弦函数的性质有何异同？

结

课

活动3【活动】板书设计

附：板书设计

标题

一、引入

二、y＝sinx，x∈R的图象和性质

函数

性质

图象

y＝sinx，x∈R

y＝cosx

，x∈R

定义域R值域［－1，1］

当且仅当x=－＋2kπ,

k∈Z时取得最小值-1；当且仅当x=＋2kπ,

k∈Z时取得最大值1

定义域R值域［－1，1］

当且仅当x=π+2kπ,

k∈Z时取得最小值-1；当且仅当x=2kπ,

k∈Z时取得最大值1

定义域、值域

（一）图象（幻灯一）

（二）性质

周期性

最小正周期是2π

最小正周期是2π

1.定义域、值域

单调性

增区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)；减区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)

增区间［－π＋2kπ，

2kπ］(k∈Z)，减区间［2kπ，π＋2kπ］(k∈Z)

2.周期性

3.单调性

4.对称性

5.最（零）点

三、y＝cosx

，x∈R的图象和性质（幻灯二）

对称性

对称轴（直线）：x＝＋2kπ，（k∈Z）

对称中心（点）：

（kπ,0）,（k∈Z）

对称轴（直线）：x＝kπ，（k∈Z）

对称中心（点）：

（+kπ,0）,（k∈Z）

最（零）点

最大点（＋2kπ， 1），(k∈Z)

最小点（－＋2kπ，-1）

零点（kπ,0）, (k∈Z).

最大点（2kπ，

1），(k∈Z)

最小点（π＋2kπ，-1）

零点（kπ,0）, (k∈Z).

（幻灯三）

四、练习：利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

五、总结

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

课时设计

课堂实录

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

148正弦函数、余弦函数的图象和性质（2） 教学活动

活动1【导入】环节一

教

师

活

动

学

生

活

动

——（提出问题，引导学生观察、思考、归纳、总结，解答学生疑问）

——（带着问题探索新知，思考、答问、笔记、提问）

讲述：同学们在初中以及高一第二章都学过函数知识，本

章继续学习三角函数，到了高三还要进一步研究它。函数是中

学数学的重要内容。很多同学都说，函数是数学科中最难学和听讲、思考、回忆函数学习的内容，为什么难学呢？主要是因为太抽象。怎样才能使函数内经历，作好本课学习的准备。

容形象呢？答案是借助图象，实际上我们对函数的学习一直就

没有离开过它的图象。这就是我们说的数形结合。著名数学家

华罗庚有诗云：“……数缺形时少直观,形少数时难入微；数

形结合百般好，隔裂分家万事休……”说明了数形结合的重要

性。

这节课我们将用数形结合的方法研究正弦函数和余弦函

数的性质

，这将使本节内容的学习变得十分直观形象，轻松

有趣，请跟我来——

活动2【活动】新知探索

环（一）弦函数的图象和性质

节二

新

知

探

索

新

观察、复习什么是正弦曲线，什么是正弦线。

1．

展示正弦函数y＝sinx，x∈R的图象

2．y＝sinx，x∈R的性质

（1）定义域、值域；

提示：在前面4.3节我们已经知道正弦函数的定义回忆4.3节内容，观察正弦曲线，结合图象理解正弦函数定域为R，根据正弦线的大小可得正弦函数值域为［－1，1］。义域、值域。

当且仅当x=－＋2kπ,

k∈Z时取得最小值-1；当且仅当x=

＋2kπ,

k∈Z时取得最大值1。

反应在图象上可以看出正弦曲线左右无限，而上下有界。

又称为有界函数。

填表(见板书设计，学生人手

一份)

（2）周期性；

由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx，(k∈Z)知：

正弦

函数值是按照一定规律不断重复地取得的这就是一类

特殊的函数——周期函数。

阅读课本56页周期函数的定义，勾书

周期函数的定义（P56）一般地，对于函数f(x)，如果存在注意关键词：“定义域内的每一个值”、“都”、“如果…一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)存在…”

思考反例.

＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数

的周期

思考:什么样的周期函数无最小正周期?

注意：a.定义中的关键字；举反例：sin（+）= sin成笔记:常值函数是周期函数但没有最小正周期.

立吗？能否说是y＝sinx的周期？

b. 显然，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈

填表

Z且k≠0)都是正弦函数的周期。2π是它的最小正周期

c.有些周期函数没有最小正周期，如常值函数y=a,x

∈R.

思考：

什么是单调区间？正弦函数

授

课

新

在R单调吗？

研究正弦函数的单调，也就是要找到正弦函数的单调正弦函数的单调区间有什么区间——增区间和减区间

特点？

由于y＝sinx的周期性，其单调区间也是按照一定规观察正弦函数在［－］上的部分，律重复出现的。

说出其单调增区间。

先在一个周期（长度为2π的闭区间）［－］上易知单调

单调增区间有无数个，这些区增区间为［－，］根据周期性特点和图形可知，每隔一个周期（2π）增间有什么共同特点？如何表示这些区间？

区间重复出现。所以这些区间跟区间［－，］的距离为2kπ

所有减区间如何表示？

(k∈Z)（k个同期），因此所有增区间表为［－＋2kπ，＋2k

k∈Z的含义与作用是什么？

π］(k∈Z)；它表示无穷多个区间，如k=0时即［－，］，k=1

时，即［，］。

填表

说明：a.每个增区间的长度相等为半个周期；

b.增区间的右侧紧接着是其减区间，减区间长度也为半个周期，

所有减区间表为［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)

思考：

c.当然也可以类似增区间的方法得出减区间。

构成正弦曲线的基本结构是什么形状？

常见的两种对称是什么？

（4）对称性

(3)

单调性;

观察正弦曲线：找出它的对称轴并用直线方程和点的上节我们考察了正弦曲线的细部特征（如图），现在结合和对称中心，坐标表示出来。

图象来研究它的对称性，从两种对称（轴对称和中心对称）去探讨。

思考：

根据正弦曲线的细部特征（基本形状）和整体特征（周各对称轴之间有何关期性）不难发现：

系？

各对称中心之间有a.凡过图象最高（低）点与y轴平行的直线都是正弦何关系？

对称轴（中心）与对称中心（轴）的关系如曲线的对称轴。这些直线（有无数条）可表示为x＝＋kπ，何？

（k∈Z）.它们之间的距离是k个半周期（kπ），相邻两条这些对称轴包括y轴吗？这对称轴的距离为半周期（π）.

些对称中心包括原点吗？正b.凡与横轴（直线x=0）的交点都是正弦曲线的对称中弦函数是奇函数还是偶函心。这些点（有无数个）可表示为（kπ,0）,k∈Z.它们之数？为什么？

间的距离是k个半周期（kπ）,相邻的两个对称中心之间

的距离是半周期（π）.

如何用奇函数的定义判断正c.对称轴与对称中心交替出现，相邻的轴与中心的距弦函数是奇函数？

填表

离是周期（）

知

d.原点是正弦函数的对称中心，所以正弦函数是奇函

数。事实上根据奇函数定义也可以判断它为奇函数：∵

sin(－x)＝－sinx

∴

y＝sinx为奇函数。

观察正弦曲线，在最靠近原点

的地方找出它的一个最小点。

思考：其它最小点与这个最小

点的横向距离是多少？怎样（5）最值点、零值点；

表示所有这些最小点？

探

最大值点呢？零值点呢？

显然(-,-1)是它的一个最小值点，而根据周期性知，其

最值点、零值点跟对称轴、对

它最小点与这个点的横向距离是一个周期，因此所有最小称中心以及单调区间的端点

有什么联系？

点的坐标为（－＋2kπ，-1）,(k∈Z).

填表

同理：所有最大点坐标为（＋2kπ，

1），(k∈Z).

所有零点表示为（kπ,0）, (k∈Z).

结合图象及前面性质（3）（4）说明：

索

a.最点就是图象在单调区间上的两个端点，过每个最1．根据正弦函数的研究方

点作y轴的平行线都是对称轴；

法与思路，自主探索余弦函

b.零点是图象在单调区间的正中间取得的点，每个零数的性质；

点都是对称中心。

2．提出疑问

（二）余弦函数的图象和性质

3．填表

展示余弦函数y＝cosx

，x∈R的图象

新

知探

索

巡回指导、答疑、纠错

做练习题，提出疑问。

总结整理本节内容与方法

布置课堂练习题P63

1、2、选作6、7、

环

提示：结合图象，注意k∈Z不能漏写。

节补充配套练习：利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下

列条件的x的集合：

三

解：（1）作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象：

巩

由图形可以得到，满足条件的x的集合为： （2）略

固

练

习

1．

根据板书进行小结：

（1）

浏览回顾知识点：

（2）

本课的方法与思想——抓住周期性特点，充

分利用数形结合来研究问题，使抽象问题形听讲、复习、笔记（记作业与

象化；

思考题）

（3）

交待4.8节课时安排。

环节四

2.布置课外作业：XT 4.8

4.5.7.9.

3.思考题：正弦函数与余弦函数的性质有何异同？

结

课

活动3【活动】板书设计

附：板书设计

标题

一、引入

二、y＝sinx，x∈R的图象和性质

函数

性质

图象

y＝sinx，x∈R

y＝cosx

，x∈R

定义域R值域［－1，1］

当且仅当x=－＋2kπ,

k∈Z时取得最小值-1；当且仅当x=＋2kπ,

k∈Z时取得最大值1

定义域R值域［－1，1］

当且仅当x=π+2kπ,

k∈Z时取得最小值-1；当且仅当x=2kπ,

k∈Z时取得最大值1

定义域、值域

（一）图象（幻灯一）

（二）性质

周期性

最小正周期是2π

最小正周期是2π

1.定义域、值域

单调性

增区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)；减区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)

增区间［－π＋2kπ，

2kπ］(k∈Z)，减区间［2kπ，π＋2kπ］(k∈Z)

2.周期性

3.单调性

4.对称性

5.最（零）点

三、y＝cosx

，x∈R的图象和性质（幻灯二）

对称性

对称轴（直线）：x＝＋2kπ，（k∈Z）

对称中心（点）：

（kπ,0）,（k∈Z）

对称轴（直线）：x＝kπ，（k∈Z）

对称中心（点）：

（+kπ,0）,（k∈Z）

最（零）点

最大点（＋2kπ， 1），(k∈Z)

最小点（－＋2kπ，-1）

零点（kπ,0）, (k∈Z).

最大点（2kπ，

1），(k∈Z)

最小点（π＋2kπ，-1）

零点（kπ,0）, (k∈Z).

（幻灯三）

四、练习：利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

五、总结