3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生教学实录

3.2.1古典概型

教学目标

1.知识目标：

理解并掌握古典概型的特征和定义，能根据已有知识列举基本事件，会计算简单的古典概型的概率

2.能力目标：

通过根据具体实例探究古典概型的过程，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力

3.情感目标

通过学习古典概率模型，让学生在观察分析中体验探究的乐趣，体验成功的喜悦

教学重点 古典概型的特征和简单的古典概型的概率计算

教学难点 根据古典概型的特征对古典概型的判断

教学手段 采用多媒体教学

教学过程

一、复习引入

1.互斥事件、对立事件的概念

若AB是不可能事件，则称事件A与事件B互斥

若AB是不可能事件，AB为必然事件则称事件A与事件B互为对立事件

2.概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？

若事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)

若事件A与事件B互为对立事件，则

P(AB)P(A)P(B)1 或 P(A)1P(B)

3.通过试验和观察的方法，我们可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的。因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法。

二、新知探究

实验引入

(1)抛掷一枚质地均匀的硬币的实验；

(2)抛掷一枚质地均匀的骰子的实验. 问题1：两个实验的所有可能的结果分别是什么？每个结果之间都有什么关系？

学生讨论，在学生回答后教师归纳：在试验（1）中结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件且为互斥事件;在试验（2）中所有可能的试验结果只有6个，即出现“1点”“2点”“3点”“4 点”“5点”“6点”它们也都是随机事件且为互斥事件. 在掷骰子试验中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“出现2点”“出现4点”“出现6点”这三个基本事件组成. 我们把这类随机事件称为基本事件.

1.基本事件的特点：

1

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？随机事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？

（树状图）

解：所求的基本事件共有6个：

，，，，，

随机事件“取到字母a”是基本事件A、B、C的和

2.古典概型的定义

问题2：找出上述两个试验和例1的共同特点

让学生先观察对比，找出两个试验和例1的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明。

上述试验和例1的共同特点是：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

（在这里要强调只有两个特点同时满足的概率模型才能称为古典概率模型）

例题1 “A”、“B”、“C”

“D”、“E”、“F”

6个

试验一

试验结果

“正面朝上”

“反面朝上”

相

同点

基本事件有有限个

每个基本事件出现的可能性相等

2个

试验二

“1点”、“2点”

“3点”、“4点”

“5点”、“6点”

6个

2

思考交流：

（1）从五位学生中随机地选择两位去参加一项集体活动，这是古典概型吗？为什么? （2）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，这是古典概型吗?为什么？

答:（1）是，因为试验的所有可能结果只有10个，每个学生被选中的可能性相等，满足古典概型的两个特点。(2)不是古典概型，因为(2)中试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。

3.古典概型的概率计算公式

思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？

分析试验，讨论下面的两个问题：

（1）掷硬币试验中，“正面朝上”与“反面朝上”的概率分别是多少？

（2）在掷骰子试验中，各个基本事件的概率是多少？随机事件“出现偶数点”的概率是多少？

教师提出问题，引导学生类比分析两个试验,提醒学生根据古典概型的特点来分析。

分析：在试验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即

P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）

由概率的加法公式，得

P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1 因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝试验二中，出现各个点的概率相等，即

所以 P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）

＝P（“6点”）＝1

21

6

3

利用加法公式可以计算随机事件“出现偶数点”的概率，

P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）

1111 ＋P（“6点”）＝

6662“出现偶数点”所包含的基本事件个数(即 P“出现偶数点”）

基本事件的总数

根据两个试验的分析，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：  P(A）A包含的基本事件的个数

基本事件的总数注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

三、典型例题

例2

同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是7的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

解（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。从表中看出掷两个骰子的结果共有36种。

2号骰

子

1 2 3 4 5 6 1号骰子

1 2 3 4 5 6 （1,1）

（2,1）

（3,1）

（4,1）

（5,1）

(6,1) （1,2）

（1,3）

（1,4）

（1，5）

（2,2）

（2，3）

（2,4）

（2,5）

（3,2）

（3,3）

（3,4）

（3,5）

（4,2）

（4,3）

（4,4）

（4,5）

（5,2）

（5,3）

（5,4）

（5,5）

(6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (1,6) （2,6）

（3,6）

（4,6）

（5,6）

(6,6) 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。

（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：

4

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

思考：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没有区别。这时，所有可能的结果将是：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21种，和是5的结果有2个，它们是（1，4）（2，3），所求的概率为

因此，在投掷两个骰子的过程中，我们必须对两个骰子加以区分。

例3

单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一 个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型。

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是指选择A，B，C，D的可能性是相等的。由古典概型的概率计算公式得：“答对”所包含的基本事件的个数1P“答对”）( 基本事件的总数4思考：

在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？

解：多选题更难猜对。如果只要一个正确答案，则有4种；

如果有两个答案正确，则正确答案（A、B）（A、C）（A、D）（B、C）(B、D) (C、D)6种

5

如果有三个答案正确，则正确答案（A、B、C）（A、C、D）（A、B、D）（B、C、D）4种

所有四个都正确，则正确答案只有1种。

正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1＝15种，可能性只有1/15 四、随堂练习

1.从521.张扑克牌（没有大小王）中随机地抽取一张牌，求这张牌出现下列情形的概率：

11213 13（1）是7＿ （2）不是7＿13134 （4）是J或Q或K （3）是方片＿＿ 12 （6）比（5）是红色

＿213 小＿6大比9（7）即是红心又是草花 0 （8）是红色或黑色1 2.在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮 1料的概率是多少？（ ）

10 3.先后抛2枚均匀的硬币

1）求这个试验的基本事件的总数；

2）求“恰有两枚正面向上”这一事件的概率

3）至少出现一次正面的概率

五、归纳小结

1．基本事件有两个特点：

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

2.古典概型的定义

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）

3.概率计算公式

A所包含的基本事件的个数 P（A）＝

基本事件的总数

4.古典概型的解题步骤；

①求出总的基本事件数；

②求出事件A所包含的基本事件数，然后利

A所包含的基本事件的个数

用公式

P（A）＝

基本事件的总数

6

5.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数常用的方法是列举法（树状图和列表），注意做到不重不漏。

六、作业

习题3.2A组3,4题

七、板书设计

3.2.1古典概型

三、公式

一、基本事件四、例题讲解

的特点

例1

例2 二古典概型的

特点

八

、课后反思

在教学过程中有几个问题值得注意：

1.通过分析试验总结出古典概型的两个特点及概率的计算公式

2.教学中不要把重点放在“如何计算”上，要让学生通过实例理解古典概型的两个特点：有限性和等可能性。同时要让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型。

例3

随堂练习

五、归纳小结

六、作业

习题3.2A组

3,4

7