2.3.1 变量之间的相关关系教学创新设计

变量之间的相关关系

导入案例：

2012年奥斯卡颁奖典礼中，每30秒广告定价为170万美元，相当于每秒5.67万美元，折合成人民币约每秒35.7万元。但是比起春晚广告却很便宜，以2011年春晚为例，“零点报时”的价格达到创纪录的每秒500万元天价，比奥斯卡的广告价格高了17倍。

广告投入与产品销售之间的关系世人皆知。然而“广告投入越多，产品销售越好”共性下，不同行业不同产品的“广告投入有效率”却各有差异。

广告每多投入一元将拉动销售增长多少？

现象相互之间的密切关系怎样衡量？

现象间的数量关系如何表达？

这就需要引入新的统计工具——相关于回归分析。

1、

相关关系的概念

相关关系(Correlation)是指现象间的非确定性的数量上的依存关系。它有两个特点：一是现象上确实存在数量上的依存关系；而是数量依存关系的值是不确定的。

例如人的身高和体重之间确实存在着“身高越高，体重越大”的数量关系，但是，身高和体重却不是一一对应的。身高170cm的人，相应的体重并不完全一样；同样，体重65kg的人，会对应着不同的身高。相关关系这种特点，决定了它与函数关系的区别。

函数关系是指现象间存在确定性的数量依存关系，例如给定一个圆的半径，它的面积便可唯一确定，面积是半径的函数。

函数关系与相关关系既有区别又有联系，可相互转化，一般来说在社会经济等领域中的函数关系反映了现象之间的理想状态，而相关关系则反映了现象之间的现实状态。相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具。

2、

相关关系的种类

按变量多少区分：单相关(两个变量之间，只涉及一个自变量和一个因变量，例如只研究收入与消费水平的关系)和复相关(三个或三个以上的相关关系，例如冰激凌的销售量与价格、气温、消费者收入和消费者年龄构成等之间的相关关系)。

按相关表现形式区分：线性相关和非线性相关。

按直线相关方向：正相关和负相关。

按相关程度：完全相关（函数关系）、不相关（变量之间相互独立，如成绩与身高）和不完全相关（介于前两者之间，如女性的结婚年龄与受教育程度）。

生活中的大多数相关关系都属于不完全相关，这是统计分析的主要研究对象。

3、

回归分析的意义

回归(Regression)这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton(1822—1911年) 在19世纪末期研究孩子及他们父母的身高时提出的。对1078对父子身高关系研究后，设父亲的身高是影响的因素，记为x(单位：英寸，1英寸≈2.54cm)，其儿子的身高是其影响的结果，记为y(单位：英寸)，发现存在大约如下线性关系：

Yc=33.73+0.516x(式中Yc表示父亲身高为x时其儿子身高的估计值) 这就是著名的回归直线方程的雏形。之所以称为回归直线方程，首先是因为它是一条直线，斜率0.516表明，父亲身高每增加1英寸，其儿子身高平均增加0.5英寸；所谓回归，

是指生物学中的特殊规律性，即孩子的身高会向中间值靠近，但现今统计学中的“回归”概念已泛指变量之间的依存关系。

回归分析是指研究一个或几个变量之间的变动对另一个变量的变动影响程度的方法。根据资料，建立变量间的回归数学模型，即建立相应的数学表达式，通过给定自变量的数值估计因变量的可能值，这种分析就成为回归分析。

4、

相关与回归分析的主要内容

步骤一：判断现象之间是否存在相关关系——编制表格绘制图形(散点图) 步骤二：确定相关关系的密切程度和方向——计算相关系数

步骤三：确定数学表达式

步骤四：确定因变量估计值的误差程度

步骤五：对相关系数进行显著性检验

5、

相关系数的计算

基本公式：r2xy

xy其中2(xx)(yy)xyn称为协方差；(yy)2yn是y的标准差. 所以相关系数可以表示为：

r(xx)(yy)(xx)2(yy)2

(xx)2xn是x的标准差；