2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计及说课稿

《平面向量正交分解及坐标表示》教学设计

银川六中

刘梅红

教材：

人教A版

必修4 第二章

第三节

【教材分析】

向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。学习向量的目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。（强调向量应用意识）

【教学目标】

1.知识目标：

(1).、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示）；

（2））会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量。

2.能力目标：

（1）通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

(2)通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

【教学重点】平面向量的坐标表示; 突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 【教学难点】对平面向量的坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析. 【教学方法】发现探究式

【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。

【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。

【教学过程】

一．复习回顾

1、平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2，使a1e12e2. 定理说明：

（1）不共线向量e1、e2叫表示这一平面所有向量的一组基底；

（2）基底不唯一，关键是不共线；

（3）由定理可将任一向量a在给定基底e1、e2的条件下进行分解；

（4）基底给定时，分解形式唯一。

2、两非零向量夹角的概念：

规定：已知非零向量a、b，作OA=a，OB=b，则AOB(0o180o)叫a与b的夹角.

A 1）当0o时，a与b同向；

a



2）当180o时，a与b反向；

O

b

B 3）当90o时，a与b垂直，记作：ab. 二．创设情境

提出问题：如图，光滑斜面上一个木块受到那些力？其中重力G产生哪些效果？它们之间的关系是什么？

答：木块受到重力G和支持力F的作用，其中重力G产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1,沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2, 也就是说，重力G的效果等价于F1和F2合力效果，即G=F1+F2. 老师总结：在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算，力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和，将这种力的分解拓展到向量中来，就形成一个新的数学理论. 三．新授

1.平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 牛刀小试：

1

如图，向量i,j是两个互相垂直的单位向量，a与i的夹角是30o,且a=4,以向量i,j为基底，a如何表示？

y 答：

a=23i+2j

思考：如图，在直角坐标系中，已知A（1,0），

C D B（0,1），C（3,4），D（5,7），设OA=i，OB=j，

填空：i=

，j=

，

B

j （1）OC=

；

O

i

A

x （2）若用i,j来表示OC，OD，则OC=

，OD=

；

（3）向量CD能否由i,j表示出来？如果可以的话，如何表示？

答案：1,1,5，,3i+4j，,5i+7j，CD=2i+3j.

提出问题：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？

提示：结合上题，直角坐标系内的每一个向量如何表示？能用坐标表示吗？

由以上问题引出平面向量的坐标表示的概念. 2．平面向量的坐标表示. 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的单位向量i、j作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得

i

axy

j

（1）

（提出问题：这是a的线性表示，无论是读还是写都不够简洁，有没有更简洁的表示方法呢？）

把有序实数对（x,y）叫做a的坐标，记作：

a(x,y)

（2）

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，（2）式叫做a的

2

坐标表示. 显然：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 提出问题：a与其坐标(x,y)是否一一对应？

（*）

预设：由平面向量基本定理可知，直角坐标系中的每个向量a都有唯一的坐标与它对应，但与坐标(x,y)对应的向量不一定唯一. 教师：关于“与坐标(x,y)对应的向量是否唯一”这个问题我们先暂且放下，在后面的学习中我们会得到答案. 提出问题： y 如图所示，向量a、b有什么关系？若a(x,y)， b 能说出b的坐标吗？

a

答：（1）a=b；（2）b(x,y)

o

x 结论：相等向量的坐标相同. 提出问题：现在可以回答问题（*）了，给定坐标(x,y)所对应的向量是否唯一？

答：唯一，因为相等向量坐标相同，因此坐标相同的向量也相等.

提出问题：

1）

已原点O为起点作OA=a，点A的位置由谁确定？

预设：由a的模确定. 教师：不只由a的模还有a的方向来确定，因此事由a唯一确定. 2，点A的坐标与向量a的坐标的关系？

答：两者相同. 结论：以原点为起点的向量的坐标等于表示此向量有向线段的终点的坐标. 练习：在直角坐标系内画出下列向量.

3

（1）a(1,2)

（2）b(1,2)

预设：学生都以O为起点作以上两个向量. 提出问题：

（1）

如果以（1,1）为起点作a，那么终点的坐标是多少？以（1,1）为起点作b呢？

（2）

平面直角坐标系中向量的坐标与表示此向量的有向线段的起点、终点坐标有没有关系？如果有，是什么关系？

答：（1）（2,3）；（0,3）

（2）向量的坐标等于表示此向量有向线段终点坐标减去起点的坐标. 教师：下面我们一起来证明这个结论.

探究：

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 解：AB=OBOA=x2i+

y2j

 (x1i+y1j)= (x2 x1，

y2 y1) 结论：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 例1：如图,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标．

解:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj, ∴a=2i+3j=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3)；c=-2i-3j=(-2,-3)；d=2i-3j=(2,-3)

提出问题：以上我们用的是平面向量正交分解的方法，你还有其他方法吗？

生甲：终点坐标减去起点坐标；

生乙：将向量平移到以O为起点；

生丙：先求出a的坐标，再利用对称性求出其他向量的坐标。

教师点评：充分运用图形间的几何关系，求向量的坐标。

课堂练习：

4

1.

若a=（1，-2）的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 。

2.

已知点A（8,2），点B（3,5），将AB沿x轴向左平移5个单位得到CD，则CD= 。

四.课堂小结：

1.

平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。

2.

向量的坐标表示：a=xi+yj=（x,y）

3.

对向量坐标表示的理解：

1）任一平面向量都有唯一的坐标；

2）向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量的终点坐标即为向量的坐标；

3）相等向量的坐标相等：

若a=（x1,y1）,b=(x2,y2)且a=b,则（x1,y1）=(x2,y2)即x1=x2，y1=y2。

五.作业设置：

1.

P100 练习：3 2.

P101习题A：1 六.板书设计：

2.3.2平面向量正交分解及其坐标表示

1．平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.

向量的坐标表示的概念：

a=xi+yj=（x,y）其中i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).

3.

对向量坐标表示的理解：

1）相等向量的坐标相等：

若a=（x1,y1）,b=(x2,y2)且a=b,则（x1,y1）=(x2,y2)即x1=x2，y1=y2。

2）当向量的起点在原点时，向量的终点坐标即为向量的坐标；

若A（x,y）,则OA=（x,y）

3)

向量坐标等于终点坐标减去始点坐标：

若A（x1,y1）,B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

5