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例谈空间向量工具在立几中的应用

广东省东莞市虎门中学陈开宁

523900 摘要：以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，实现“数与形”的结合，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，这样通过向量就能比较容易地解决几何中的某些问题.

关键词：向量、立体几何

自从新编高中数学教材在必修课增加了向量的内容后，解决中学数学的许多问题又多了一种思路．以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，实现“数与形”的结合，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，这样通过向量就能比较容易地解决几何中的某些问题.下面通过例题简要论述向量知识在高中数学立体几何解题中的应用．

一、空间向量知识应用归纳

（一）利用两个向量的夹角公式（cos=的角. （二）利用a⊥ba·b＝0可证空间两直线垂直、线面垂直.

（三）利用“法向量”这一有力工具，可以解决空间中诸多问题．



平面法向量的概念：如果非零向量n

⊥平面，那么向量n叫做平面的法向量．

平面法向量的求法：设n=（x，y，z）是平面的法向量，即：n⊥，则n就垂直于内所有直线．比如n⊥AB，n⊥AC，而AB、AC是内已知坐标（或者可以通过其它途径求出坐标）的向量，利用两个内积关系：（x，y，z）·AB=0，（x，y，z）·AC=0，并取x、y、z中任一个的特殊值，可以求出n.

（1）利用“法向量”可以证明线面平行、线面垂直、面面垂直等问题．

假设n是平面的法向量，m是平面的法向量．则：

ab|a||b|），可以求空间两条直线所成AB·n①要证明直线l⊥，只要证明l所对应的向量AB∥n，即证明：（R，0）（或证AB本身是平面的一个法向量）；

②要证明直线l∥，只要证明l所对应的向量AB⊥n，且l．

③要证明⊥，只要证明：n⊥m，即证明n·m=0（见图6）

mθ

nlA lθ

nM

α

图8 n

b N a B α

图7 图6 第

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（2）利用“法向量”可以求解线面角、二面角等问题．

①求直线l与平面所成角，可以先求出l与n的夹角（取锐角），然后得出直线l与平面所成角为2－（见图7）

②求二面角—l—的大小，只要先求出n、m的夹角，然后根据具体图形决定此二面角是还是－（见图6）

（3）利用“法向量”可以求解点面距离、两条异面直线的距离等问题．

①求点A到平面的距离d，只要求出平面的斜线段AB在平面的法向量n上投影的长度（d＝|AB|·|ABn|AB||n||ABn||n||n|）即可．其实d＝|AB|·cosθ＝|AB|·|cos|＝（见图7）. |＝|ABn|②求异面直线a、b的距离，只要先求出与a、b都垂直的向量n，然后找出两端分别位于a、b上的线段MN，再求MN在n上的投影长度（d＝|MNn||n|）即可（见图8）. 二、空间向量处理问题示例

例1

已知在平行六面体ABCD－ABCD中，AB=4,AD=3,AA=5, ∠BAD＝90°, ∠BAA＝∠DAA=60°求BD的长（图9）. D

C

解：

∵BD＝AD－AB＋AA

A∴|BD|2=（AD－AB＋AA）2

B

D

＝|AD|2+|AB|2+|AA|2 C A －2(AD·AB－AD·AA＋AB·AA) B 图9 ＝9＋16＋25－0＋15－20 ＝45 ∴|BD|＝35. 【注】利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量（通常是同一起点的三个向量）表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明.

例2

四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，PD⊥底面ABCD，若设AB=4，CD=1，AD=2，PD=23. ⑴求异面直线PA、BC所成角；

⑵若M是PB的中点，求证：平面AMC⊥平面PBC；

⑶若N是PM的中点，求证：CN∥平面ADP. 解：

建立如图9所示空间直角坐标系D－xyz，依题意，

得A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0），

P（0，0，23），M（1，2，3）

⑴分析

异面直线所成角可以利用求向量夹角的方法

来处理. x z P N ·

M D A 图9 第

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C y B

解

PA=（2，0，－23），BC=(－2，－3，0)，

413cosPA,BC1341313，故直线PA、BC所成角为arccos13．

∴⑵分析

以前证明两个平面垂直，需要证明线、面垂直，而“线”的寻找是一个困难的问题．如果使用法向量方法，则避免了寻找“线”的困难．

解

设n=（a，b，c）、m=（d，e，f）分别是平面AMC及平面PBC的法向量，

又知：AM=（－1，2，3），CM=（1，1，3），PB=（2，4，－23），

BC=（－2，－3，0），

所以：（a，b，c）·（－1，2，3）=0且（a，b，c）·（1，1，3）=0，

解之得：b=2a，c=－3a，故取a

＝1得n=（1，2，－3）.同理取m=（－33，23，1）. m=（1，2，－3）∵n··（－33，23，1）=0，∴n⊥m，

∴平面AMC⊥平面PBC. ⑶分析

以往证明线面平行，最大的问题是在已知平面内找出一条直线，使之与已知直线平行，用法向量的方法，可以避开这个环节. 113333解

若N是PM的中点，则N（2，1，2），CN=（2，0，2），

显然DC=（0，1，0）可以看成是平面ADP的一个法向量，

∵CN·DC=0，∴CN⊥DC，∴CN∥平面ADP，又点C平面ADP，

所以：

CN∥平面ADP. 【注】一般图形中有共点三线互相垂直时，建立空间直角坐标系运用向量的坐标运算求解较好．不能用向量与平面的平行代替直线与平面的平行，要注意它们的区别与联系．

例3 如图10，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1. ⑴求证：BE⊥平面ACF；

⑵求点E到平面ACF的距离．

⑶求二面角F—AC—B的大小；

⑷求直线AE与平面AFC所成角；

⑸求异面直线CF、BE的距离；

z

解

如图10建立空间直角坐标系D－xyz，则

D1

C1

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

B1

A1

C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），

F（2，2，4）

⑴证明

BE=（－2，－2，1），AC=（－2，2，0），AF=（0，2，4），

E

F

D

AC=0，BE·AF=0，∴BE⊥AC，

∵BE·BE⊥AF，又∵AC∩AF=A，∴BE⊥平面ACF；

⑵分析

求点到平面的距离，一个方法是找出点x

A

在平面内的射影，然后解相应的直角三角形；另一个

图10 B

C

y

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方法是利用等积法．这两种方法都比较困难，特别是找点在平面内射影位置；利用法向量可以大大减轻处理问题的难度，方法机械而有效．

解

设点E到平面ACF的距离为d1，由⑴可知，BE=（－2，－2，1）就是平面ACF的一个法向量，

∵AE=(－2，0，1)，

∴d1|AEBE5||BE|=3. ⑶解

由⑴可知，BE=（－2，－2，1）就是平面ACF的法向量，又可取

BEn1n=（0，0，1）为平面ABC的法向量，且cosBE,n=|BE||n|=3，

1故二面角F—AC—B的大小为arccos3. ⑷解

∵AE=（－2，0，1），由⑴可知BE=（－2，－2，1）是平面AFC的法向量，

BEAE5又：cosBE,AE=|BE||AE|=－，∴直线AE与法向量BE的所成的锐角为5π555arccos，∴直线AE与平面AFC所成角为－arccos＝arcsin. 2555⑸解

设向量m=（p，q，r）满足：m⊥CF，m⊥BE；

又CF=（2，0，4），BE=（－2，－2，1），

则有（2，0，4）·（p，q，r）=0且（－2，－2，1）·（p，q，r）=0，

5解之得：p=－2r，q=2r，所以可取r＝2得m=（－4，5，2），

而BC是端点分别在异面直线CF、BE的线段，BC=（－2，0，0），

BCm|85|m|所以=.

15【注】“立体几何向量化，向量问题坐标化”是解决空间中的角和距离问题的有效方法和途径，也是处理高中立体几何问题的一种趋势.对于几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，必须熟练地掌握其向量法.

向量已是高中数学知识的一部分，它不可能是孤立的，它与立体几何有千丝万缕的联系.在平时学习特别是高考备考中，须要求学生准确理解向量的概念，熟练掌握向量的运算性质，加强向量与其它数学知识的联系与整合，仔细体会用向量知识解决数学问题的方法和步骤，切实把向量知识有机地纳入到自己的数学知识体系中.只有这样，才能提高用向量知识解决数学问题的能力，在高考中取得理想的成绩.

d2|第

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