2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计(教案)

平面向量的正交分解和坐标表示及运算 一、

教学内容与地位分析

本节课所讨论的问题是上一节课所讨论问题的深入，同时为平面向量的坐标表示奠定理论基础。在平面内，任一向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用。在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形。向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，会给问题的研究带来方便。向量的坐标表示，实际是向量的代数表示。引入向量的坐标表示可使向量的运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算。

二、

学生学习情况分析

和的坐标、差的坐标、以及数乘的坐标运算。

三、设计思想

通过类比平面直角坐标系中点用有序对表示，引导学生在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，介绍向量的坐标表示可使向量的运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算。

四、教学目标（三维目标）

1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．

2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．

3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．

五、教学重点与难点

重点：平面向量的坐标运算. 难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 六、教学过程设计

（一）问题情景

1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．

一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．

2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？

（二）探究新知

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，基本定理知，有且只有一对实数轴方向相同由平面向量x、y，使得axiyj，我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a(x,y)

显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）。

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA即a的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

思考1：若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab，ab的坐标如何表示？

设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

因此，若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)，

即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

思考2：若a(x,y)和实数，则a的坐标如何表示？

设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的坐标如何表示？

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= x2x1,y2y1

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

（三）知识应用、巩固训练

例1已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 解：a+b(23,14)(1,5)；

a-b(23,14)(5,3)；

3a+4b3(2,1)4(3,4)(6,19). 例2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求顶点D的坐标. 解：解法1：设D（x，y），ABDC，即（1，2）＝（3－x，4－y），

13xx2∴，∴，

24yy2∴顶点D的坐标是（2，2）. 变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 分析：当平行四边形四个顶点的位置顺序未确定的情况下，注意分类讨论。

解：

如图，当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2， 2)；

当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)；

当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0).

课堂练习：

1．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

22．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

. 3．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. （四）归纳小结

，巩固新知

1. 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示,即坐标. 2. 平面向量坐标的运算

（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)