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直角三角形与勾股定理

一．教材分析：

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值。是几何中重要定理，是学生后续学习的重要基础。

二．学情分析：

本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣。

三．学习目标：

1.知识与技能：掌握勾股定理以及变式的简单应用，理解定理的一般探究方法。

2.过程与方法：发展同学们数与形结合的数学思想。

3.情感态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯。

重点：勾股定理的简单计算

难点：勾股定理的灵活运用。

学习过程：

一．知识点回顾

考点1

直角三角形的概念、性质与判定

1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2.性质：

(1)有一个直角. (2)两锐角互余.

(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(4)30°角所对的直角边等于斜边的一半.

(5)若一条直角边等于斜边的一半,则它所对的

角等于30°.

(6)勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和 等于斜边的平方.

.

3.判定：(1)有一个角是直角的三角形.

(2)两锐角互余的三角形.

(3)一边上的中线等于这边的一半的三角形

(4)勾股定理的逆定理:

考点2

勾股定理及逆定理

二．归

类

探

究

探究一

直角三角形的性质

命题角度：

1．直角三角形两锐角互余；

2

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

例1.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，

那么这个等腰三角形的顶角为( ) A.30° B.60° C.150 ° D.120°

例2如图20－1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为________cm.

图20－1 探究二

利用勾股定理进行计算

命题角度：

1.利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．

例1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(

) A．4，5，6

B．1.5，2，2.5 C．2，3，4

D．1，2，3 例2．如图20－5是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，1，2，则最大的正方形E的面积是________．

图20－5

解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积和为S1，正方形C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，于是S3＝S1＋S2，即S3＝3＋5＋1＋2＝11.

例3

如图20－2，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为(

) A．3 cm

B．6 cm

C．3 2 cm

D．6 2 cm

图20－2 例4.三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为CE，则三角形ACE的面积是（

）

例5：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BCDA边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求

EC= (

)

E

BC

探究三

利用勾股定理

解决生活中的实际问题

命题角度：1．求有关的长度问题；2．求最短路线问题．

例1：如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。

B

A2 5

1PD

C14

1E

4A′

1.圆柱中的最值问题

例１如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）

BC

A

例2如图20－3，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm. 将杯子侧面展开，建立点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．如图：

ABDCA′B＝A′D2＋BD2

＝122＋162

＝20(cm)．

2.台阶中的最值问题

例3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？

ＣＡ２０

A203

23２

3

2

3B

AB=252

Ｂ

3.立方体中的最值问题

例1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短. D1A1DA4C1B1C12BDD1C12D1C11A1B14①DC4②AB2C11③AB2CA1A14B1 AC1 =√42+32 =√25 ; AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .

例2

如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_______cm.

三.课后思考

1．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图20－6是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.

图20－6

请解答下列问题：

(1)S1＝1＋3

833n－1)·()(n为正整数) 84

(2)通过探究，用含n的代数式表示Sn，

则Sn＝(1＋_______

_______.