2.4 三角形的中位线教学设计与反思

三角形的中位线

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

一、知识与技能

通过动手拼图、画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别，掌握三角形中位线定理，通过三角形中位线定理的证明，渗透数学学习中的转化思想，培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。

二、过程与方法

通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。

三、情感态度与价值观

获得在教师指导下的自主探索——发现——成功的积极情感体验，强化自主探索发现的意识，增强创新意识；感受、欣赏变化万千的几何世界之中的数学美。

【教学重难点】

1．重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。

2．难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线。

【教学过程】

一、创设情景

电脑出示图片，请生找出图片中的几何图形。（三角形）

请生先动手拼图，师再电脑演示。

（一）任意两个全等三角形采用平移、旋转的方法可以拼成一个新的几何图形吗？

（二）任意三个全等三角形按上述呢？拼成的图形中有几个平行四边形呢？

（三）任意四个全等三角形按上述呢？拼成的图形中有几个平行四边形呢？

二、归纳结论

实际问题（课件）

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在某广场中央有一块三角形的绿化带，现在要把它分成形状、大小完全相同的四块，分别种上四种不同的花卉，你能帮助设计一下吗？

根据方案导出三角形中位线的定义，并请生尝试下定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（一）请生动手画：一个三角形的中位线有几条？

（二）请生回答：如下图线段AF（F为中点）是中位线吗？为什么？

（三）请生回答：三角形的中位线与中线的区别？

ADE

CBF三、探索验证

（一）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么请同学们观察一下，猜一猜：中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？

猜想结论：学生尝试用文字语言归纳结论，并互相补充完整命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

推理、论证结论：

你能证明这个命题吗？

生独立书面完成，一生板演。

已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC。求证：DE∥BC，DE=1/2BC。

（二）猜想的四种证明

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A D B E F C 方法

法一：延长DE至F，使EF=DE，连接FC。

法二：同法一，再连接DC、AF。

法三：过点C作直线平行于AB，交DE的延长线于点F。

法四：不用添加辅助线，证三角形ADE与三角形ABC相似即可。

通过了同学们的证明，可以知道猜想的结论是正确的。我们把这个结论称为三角形中位线定理。（把命题改写成三角形中位线定理）

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

几何语言：

∵AD=DB，AE=EC 1∴DE∥BC，DEBC

2四、变式应用

（一）如图，已知DE、DF、EF为△ABC的中位线，且已知AB=18、BC=16、AC=14。

ADE

CBF1．你可推出哪些结论？（小组交流）

2．如图，若取△DEF的三边中点顺次连接。

又可得到哪些结论？若继续取下去呢？（小组交流）

（二）如图，DE、GH分别是△ABC、△FBC的中位线。那么：

1. DE、GH有何关系？（口答）

AF2. 若连接DG、EH，猜测四边形DGHE的形状？（口答）BDGHE

C3. 当△FBC沿BC翻折180°时，上图中的四边形DGHE的形状变吗？（同桌交流）

ADE

BGFHC

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4. 若将上图中的BC去掉，结论变吗？（生动手板演）（请用多种方法解）

AECGFHDB

5. 若将上图中的任意四边形DGHE的形状变为特殊的四边形，结论变吗？（小组分工合作完成）

（三）反思

1．原四边形的对角线之间的关系和新得到的四边形之间的关系有什么关系？

2．你能得出哪些一般性的结论？

（1）顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形；

（3）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形；

（4）顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是正方形。

3．中点四边形的形状与原四边形对角线的位置和数量有关。

（1）当对角线既不相等也不垂直时，得到的中点四边形是平行四边形。

（2）当对角线相等时，得到的中点四边形是菱形。

（3）当对角线垂直时，得到的中点四边形是矩形。

（4）当对角线既相等又垂直时，得到的中点四边形是正方形。

五、课堂小结

本节课你有哪些收获？通过动手拼图、画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别，掌握三角形中位线定理，通过三角形中位线定理的证明，渗透数学学习中的转化思想，培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。

【第二课时】

【教学目标】

一、知识与技能

了解三角形的中位线的概念了解三角形的中位线的性质，探索三角形的中位线的性质的一些简单的应用。

二、过程与方法

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通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。

三、情感态度与价值观

获得在教师指导下的自主探索——发现——成功的积极情感体验，强化自主探索发现的意识，增强创新意识；感受、欣赏变化万千的几何世界之中的数学美。

【教学重难点】

1．重点：三角形的中位线定理。

2．难点：三角形的中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法。

【教学过程】

一、创设情境

想一想：如图，为了测量一个池塘的宽AB，小聪想了一个办法：分别在池塘两端A，B引两条直线AC，BC，相交于点C，在BC上选点E，G，使BE=EG，再分别过E，G作EF∥GH∥AB，交AC于点F，H，测出EF=6，GH=3，如图，此时就可得出结论：池塘的宽度AB=9为你认为他说的对吗？为什么呢？

二、探究新知

（一）试一试：

1．例题：如图，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

2．若四边形ABCD的面积是6，则四边形EFGH的面积是多少？

归纳：中位线的性质与平行四边形的判定也有着密切的联系。

三、迁移拓展

（一）做一做：如图所示，ABC中，中线BD、CE相交于O、F、G分别为OB、OC的中点。求证：四边形DEFG为平行四边形。

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证明：ABC中，中线BD、CE相交于O、F、G分别为OB、OC的中点，∴DE=FG，DF∥AB，∴四边形GFDE是平行四边形。

∵DF与EG互相平分；∴四边形GFDE是平行四边形，DG∥EF，∠GDE=∠FEC，EG∥AC；∴∠GED=∠C，GD=EF；∴△DGE≌△FEC；∴DE=EC；∵DF∥AB；∴∠FDC=∠B；∴∠GDE=∠FEC，DG=EF；∴△BDG≌△DFE；∴BD=DE；∴BD=DE=EC 四、课堂作业

（一）填空题

1．△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，若DE=3，则BC=________。（23）

2．如图△ABC中，为各边的中点，则图中平行四边形共有_________个。（3个）

3．如图，已知∠A=650，AB=10，AC=8，则∠EGF=__________，四边形AEGF的周长是__________。（650，18）

4．已知三角形边长分别为6、8、10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是_____。

（12）5．如果△ABC的三边长分别为a、b、c，AB、BC、AC各边中点分别为D、E、F，则△abcDEF的周长是___________。（）

2（二）选择题

1．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（B）。

A．3cm；B．26cm；C．24cm；D．65cm 2．点D，E，F分别边BC，AC，AB的中点，若S△ABC=1.6，则△DEF的面积为（B）。

A．0.8；B．0.4；C．6.4；D．3.2 3．已知三角形三边长的比为4：5：6，三角形的周长是60cm，求三角形中最短的中位线是（B）。

A．4cm；B．8cm；C．12cm；D．6cm 4．以三角形一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是（B）。

A．两组邻边分别相等的四边形

B．平行四边形

C．有一个角是直角的四边形

D．对角互补的四边形

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（三）解答题

1．如图，在四边形ABCD中，AD=DC，P是对角线BD的中点，M，N分别是AD，BC的中点。求证：是△PMN等腰三角形。

证明：在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，∴NP=AB；∵M，N分别是AB，DC的中点，∴MP=DC；∴△PMN等腰三角形。

五、课堂小结

中位线的性质定理

1．定理为证明平行关系提供了新的工具。

2．定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2提供了一个新的途径。

通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。

【作业布置】

一、填空题

（一）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______。（平行四边形）

（二）顺次连结矩形各边中点所得图形是______。（平行四边形）

（三）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是______。（平行四边形）

（四）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____。（平行四边形）

（五）顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______。（平行四边形）

（六）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是____。（平行四边形）

（七）顺次连结正方形各边中点所得的图形是______。（正方形）

（八）一个任意四边形的两条对角线的长分别为a和b，顺次连接这个四边形四边的中点，得到的四边形的周长是c则c=__________。（a+b）

（九）如图，点D，E，F分别是△ABC（AB>AC）各边的中点，请写出一个正确的结论11EF与AD互相平分，如_____________________EF=BC，△DEF的周长是△ABC的周长的。22

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