2.5.1矩形的性质公开课教案

18.2.1

矩形的性质

一、教学目标：

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．

二、重点、难点

1．重点：矩形的性质．

2．难点：矩形的性质的灵活应用．

三、例题的意图分析

例1是教材P53的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．补偿提高（一）的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．补偿提高中的两个题可使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．

四、教学过程：

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．

4.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？

它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．

矩形性质1

矩形的四个角都是直角.（理论验证）

矩形性质2

矩形的对角线相等．（理论验证）

③如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．

1212

因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

已知：在△ABC中∠ACB=90°，AD = BD 1求证：CD = AB 2 证明：延长CD到E使DE=CD，连

结AE、BE. ∵AD = BD ，CD = ED ∴ACBE是平行四边形

又∵∠ACB = 90 ∴ ACBE是矩形 ∴CE = AB

1由于CD= CE 21∴ CD =AB 2练一练

已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝, BD＝_____㎝.

5、典型题例

例1

（教材P53例1）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．

解：∵

四边形ABCD是矩形，

∴

AC与BD相等且互相平分．

∴

OA=OB．

又 ∠AOB=60°，

∴ △OAB是等边三角形．

∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．

试一试

如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线的长是13cm，那么矩形的周长是多少？

解：在矩形ABCD中,有

AD=BC;AB=CD;AC=DB; AO=OC=OB=OD ∴AD+BC+AB+DC+2AC+2BD=86 又∵AC=DB=13 ∴AD+AB+BC+DC=86－52=34 五．补偿提高

（一）.已知：如图

，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

分析：1.因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x282(x4)2，解得x=6．

则 AD=6cm．

2. “直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：

AE×DB＝

AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．

( 二).已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．

求证：CE＝EF．

分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴

∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．

∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．

∴

∠B=∠AFD．又 AD=AE，

∴

△ABE≌△DFA（AAS）．

∴ AF=BE．

∴ EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

六、达标检测

1．矩形具有而平行四边形不具有的性质( ). A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．下面性质中，矩形不一定具有的是( ).

A．对角线相等 B．四个角相等 C．是轴对称图形 D．对角线垂直 3．过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四

条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是( ). A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形 4.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为( ). A．50° B．60° C．70° D．80°

5．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3cm，BC=4cm 则AC= cm，

AO= cm,BO= cm.

七、课后练习

1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为( ). A．12cm B．10cm C.7.5cm D．5cm

2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．

4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．