1.4 角平分线的性质第一课时评课稿

（湘教版）1.4 角平分线的性质

第1课时

角平分线的性质及其逆定理

一、教学目标

1、探究并理解角平分线的性质及其逆定理。（重点）

2、会运用角平分线性质定理的逆定理判定角平分线。（重难点）

3、通过探究讨论，提高学习数学的兴趣，培养合作交流意识。

二、重点难点

（见前述）

三、方法手段

（一）教法

1、信息技术手段。（没有“班班通”的免）

2、演示法，讲授法，图示法，例题法，练习法，随堂检测法。

（二）学法

阅读法，观察法，理解记忆法，习题法。

（三）教学准备

1、制作PPT。（无“班班通”的准备如下：）

2、用硬纸做一个角，用于对折演示角平分线。

3、小黑板抄写：（1）教材P22“探究”题；

（2）教材P23“动脑筋”题；

（3）教材P23“例1”。

四、教学过程

（一）新课引入

1、什么叫角平分线？

解：角平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分为相等的二个角。（硬纸三角形演示）

2、操作：（1）用折纸法画出∠AOB的角平分线；

（2）在∠AOB的角平分线上任取一点P，量一量点P到角两边的距离，看它们是否相等。

解：（1）（师用硬纸三角形演示并在黑板上画出）如图，OC即为∠AOB的角平分线。

（2）过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，量得PD=PE，所以它们相等。

师：这节课我们来探究角平分线的性质定理和其逆定理。

（二）探究新知

【探究1】角平分线的性质定理

1、教材P22“探究”题（图1-26）：

1

问题1：该题已知哪些条件，要求

的是什么？请在图上标记出来。

解：已知条件已在图上标记，要求的是问PD=PE吗。

问题2：PD、PE分别在哪两个三角形中？

解：PD在△OPD中，PE在

△OPE中。

问题3：如果证得△OPD≌△OPE，能判定PD=PE吗？请说明理由。

解：能。因为全等三角形对应边相等。

问题4：在△OPD≌△OPE中已知哪些条件？根据三角形全等的判定定理这些条件能判定两三角形全等吗？

解：在△OPD和△OPE中，∠PDO=∠PEO=90°，∠DOP=∠EOP，OP公共，根据“角角边”可判定两三角形全等。

问题5：问题4中判定两个三角形全等的三个条件，哪些是已知的，哪些需要通过推理得到？请写出推理过程。

解：（1）OP公共是已知的，另二个条件需要推理得到：∠PDO=∠PEO=90°，∠DOP=∠EOP. （2）因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°；因为OC平分∠AOB，所以∠DOP=∠EOP. 问题6：下面我们一起来练写该题的解答过程。

（书写提示：围绕这两个三角形全等的条件，需要推理才得出的先写，全部三个条件具备后，再列出这两个三角形全等。）

解：PD与PE相等。理由如下：

∵

PD⊥OA，PE⊥OB （已知）

∴∠PDO=∠PEO=90°

∵OC平分∠AOB （已知）

∴∠DOP=∠EOP 在△OPD和△OPE中，

∴△OPD≌△OPE（AAS）

2

∴

PD=PE （全等三角形对应角相等）. 问题7：由此能得到一个什么定理，请你归纳出来。

解：角平线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、做“巩固应用”第1题（教材P24练习第1题）。

3、做“巩固应用”第2题（教材P24练习第2题）。

【探究2】角平分线性质定理的逆定理（判定定理）

1、

教材P23“动脑筋”题（图1-27）

问题1：从“点P在∠AOB的内部”你能得出点P的位置有什么特别？从“作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E”这句话，你能得出什么已知条件？

解：（1）从第一句话可知：点P在∠AOB的内部，而不是在∠AOB的外部；（2）从第二句话可知：点P到∠AOB两边的距离分别是PD和PE。

问题2：题中还已知什么条件？请在图中标注。

解：还知PD=PE，标注见图。

问题3：该题要求的是什么？

解：要求的是：点P在∠AOB的平分线上吗？

问题4：为此，我们应把哪一点与点P连接起来作一条射线，然后证明这条射线是∠AOB的平分线？（如果证得这条射线是角平分线，那么点P就在这个角的平分线上了）请作出辅助线。

解：把点O与点P连接起来作射线OP，然后证明OP是∠AOB的平分线。辅助线见图。

问题5：欲证得OP是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义，需要证明哪二个角相等？

解：需要证明∠DOP=∠EOP. 问题6：∠DOP和∠EOP分别在哪两个三角形中？

解：∠DOP和∠EOP分别在Rt△DOP和Rt△EOP中。

问题7：在Rt△DOP和Rt△EOP中，已知哪些条件，符合三角形全等的判

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定定理吗？

解：在Rt△DOP和Rt△EOP中，已知：PD=PE,OP公共，符合直角三角形全等的判定定理“HL”。

问题8：下面我们一起来练写该题的解答过程。（第一段写什么？第二段写什么？第三段写什么？）

解：点P在∠AOB的平分线上。理由如下：

如图，作射线OP，

在Rt△DOP和Rt△EOP中，

∵

PD=PE,OP=OP （已知）

∴

Rt△DOP≌

Rt△EOP（HL）

∴

∠DOP=∠EOP（全等三角形对应角相等）

∴

CP是∠AOB的平分线

∴

点P在∠AOB的平分线上。

问题9：由此得到一个什么定理，你能叙述出来吗？

解：由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

问题10：这个定理能判定过该点的线是角平分线吗？哪一点与该点的连线才是这个角的平分线？

解：（1）这个定理不能判定过该点的线就是角平分线，因为过该点有无数条线。（2）角的顶点与该点的连线才是这个角的平分线。

师述：由于一个已知角的顶点是确定的，因而欲确定这个角的平分线只要找到在角平分线上的另一个点，连接这两点的射线就是这个角的平分线。而这个定理正好解决了这个关键点问题。因此，我们可以把这个定理理解为“角平分线的判定定理”。

2、

教材P23“例1”：如图1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. （1）

求证：点B在∠ADC的平分线上；

（2）

求证：BD平分∠ABC. 问题（1）-1：该题已知条件都标记在图上，要求证的是什么？

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解：求证：点B在∠ADC的平分线上. 问题（1）-2：我们所学的哪一个定理可判定一个点在角的平分线上？根据这个定理，欲判定点B在∠ADC的平分线上，需要满足的条件是什么？

解：（1）角平分线性质定理的逆定理。（2）需要满足的条件有：①点B在∠ADC的内部；②点B到∠ADC两边的距离相等。

问题（1）-3：第一个条件“点B在∠ADC的内部”已知吗？第二个条件“点B到∠ADC两边的距离相等”，是哪二条线段要相等，这二条线段相等已知吗？

解：（1）第一个条件“点B在∠ADC的内部”是已知的。（2）第二个条件“点B到∠ADC两边的距离相等”是须BA=BC，但BA=BC未知。

问题（1）-4：现在的任务是不是要证得BA=BC？（怎样证得BA=BC呢）你看BA、BC在哪个三角形中？

解：（1）是要证得BA=BC。（2）有两种情形：第一种，BA在△ABD中，BC在△BCD中；第二种，BA、BC都在△ABC中。

问题（1）-5：在第一种情形中，要证得BA=BC，需要证明什么，已知条件足够吗？在第二种情形中，要证得BA=BC，你看有哪个已知条件可以用上？

解：（1）在第一种情形中，要证得BA=BC，需要证明△ABD≌△BCD，已知条件只有两个：①∠BAD=∠BCD=90°，②BD公共，全等的条件还差一个，不够。（2）在第二种情形中，在△ABC中，已知∠1=∠2，可得BA=BC，理由是等角对等边。

问题（1）-6：现在该题第（1）问的证明思路你清楚了吗？下面练写证明过程。

证明：（1）∵

∠BAD=∠BCD=90°（已知）

∴

点B到∠ADC两边的距离分别是BA、BC 又∵在△ABC中，∠1=∠2（已知）

∴ BA=BC（等角对等边）

∴

点B在∠ADC的角平分线上（角平分线性质定理的逆定理）

问题（2）-1：已知条件全标示在图上了，要求证的是什么？

解：要求证“BD平分∠ABC”。

问题（2）-2：根据角平分线的定义，欲证明BD平分∠ABC，其实只要证明

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哪两个角相等？

解：只需证明∠ABD=∠CBD。

问题（2）-3：∠ABD和∠CBD分别在哪两个三角形中？

解：∠ABD和∠CBD分别在△ABD和△CBD中。（另一种情形由于交点没标字母，暂不考虑）

问题（2）-4：欲证明∠ABD=∠CBD，需要证明△ABD≌△CBD，为什么？全等条件足够吗？

解：（1）如果证得△ABD≌△CBD，便可得∠ABD=∠CBD，理由是全等三角形对应角相等。（2）全等条件够，因为在Rt△ABD和Rt△CBD中，BA=BC(已证),BD公共，根据“HL”可判定Rt△ABD≌ Rt△CBD。

问题（2）-5：该题第（2）问的证明思路已经清楚了，下面我们共同来练写证明过程。（连接第（1）问的证明）

证明：（2）在Rt△ABD和Rt△CBD中

∵ BA=BC(已证),BD公共，

∴ Rt△ABD≌ Rt△CBD（HL）

∴

∠ABD=∠CBD（全等三角形对应角相等）

∴ BD平分∠ABC（角平分线的定义）

（三）巩固应用

1、教材P24“练习”第1题。（角平分线的性质）

2、教材P24“练习”第2题。（角平分线的性质）

3、

如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，连接AD，若BD=CD，求证：AD平分∠BAC。（角平分线的判定）

4、如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°。

求证：BD平分∠ABC. （提示：作点D到角两边的距离DE，DF）

（四）全课小结

1、本课你学到了什么？（角平分线的性质定理；角平分线性质定理的逆定

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理）

2、随堂检测：教材和26第1，2题。

五、板书设计

1.4 角平分线的性质（1）

1、角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

改写成“如果…那么…”的形式：

如果两条线段是角平分线上任意一点到角两边的距离，那么这两条线段相等。

2、角平分线性质定理的逆定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

改写成“如果…那么…”的形式：

如果一个点在角的内部，并且该点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。

六、总结反思

（一）课堂效果自评

（二）我的教学反思

1、好的方面：

2、不足之处：

（三）学生存在的问题或急需解决的问题：

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