4.3正比例函数的图象与性质优秀完整教案

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

知识技能

数学思考

教

学

目

标

问题解决

第1课时

正比例函数的图象和性质

1.使学生能用两点法画出正比例函数的图象．

2．初步了解正比例函数图象的性质.

能从特殊到一般，从数到形上研究正比例函数的图象及性质.

1.通过实例中函数图象画法的学习，发现并总结正比例函数图象的常用画法．

2．通过观察、探究、分析，引导学生发现正比例函数的性质.

1.体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．

2．在学习中学会主动参与、积极思维，并获得成功的体验，锻炼克服困难的意志. 教学

重点

教学

难点

授课

类型

教具

1.学会画正比例函数的图象．

2．正确理解正比例函数的图象及其性质.

通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质.

新授课

三角板(多媒体课件、几何画板)

教学活动

课时

授课人

情感态度

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1

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数学

八年级下册

(续表)

教学

步骤

活动

一：

创设

情境

导入

新课

师生活动

【课堂引入】

(1)我们知道用表达式可以表示正比例函数，那么能否用图象表示正比例函数呢？

(2)怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图象，如y＝2x等，本节课我们就学习如何画函数的图象并分析其性质．

【探究】

正比例函数的图象与性质

在同一直角坐标系中画出下列函数的图象．

1．画正比例函数的图象

(1)选择一个你喜欢的k值填在横线上：y＝________x；

(2)选择合适的自变量的值，完成下表；

直接的课堂引入，点出主题，直截了当，引人发省.

设计意图

(3)利用描点法画出图象. 2.展示学生画出的图象，几何画板作图．(老师用几何画板展示电脑作图，作两个，即一个系数为正，一个系数为负) 通过所作图形，比较两个函数图象的共同点与不同点. 3.归纳函数图象的性质：

正比例函数的图象为一条经过原点和(1，k)的直线. 当k>0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；

当k<0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小. 问题1：如果函数的自变量有一定的范围，那么所作的图象又是什么样的呢？请大家思索. (应该是所画图形的一部分或一些点) 问题2：正比例函数的图象是一条直线，除了描点法外，你还有更简便的方法画出它的图象吗？

(两点法理由：因为正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线，即在函数表达式上任意取两点，连接成直线即可) 问题3：取直线上的哪两个点作图最简单？

选取(0，0)，(1，k)两点(其他的点也可以，但这两点最简单).

2 活动

二：

实践

探究

交流

新知

选择合适的k值，完成该正比例函数的图象，观察教师展示的学生画出的图象以及教师用几何画板作图的过程，让学生利用图象总结正比例函数图象的特征与表达式的关系，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.

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(续表) 【应用举例】

例1

在直角坐标系中，既是正比例函数y＝kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是(C)

图4－3－2 变式

正比例函数y＝ax中，y随x的增大而增大，则直线y＝(－a－1)x经过(C) A．第一、三象限

B．第二、三象限

C．第二、四象限

D．第三、四象限

[解析] ∵正比例函数y＝ax中，y随x的增大而增大，∴a＞0，∴－a－1＜0，∴直线y＝(－a－1)x经过第二、四象限．

例2

[教材P123例2]

某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3 m/s的速度上升，运行总高度为300 m. (1)求电梯运行高度h(m)随运行时间t(s)而变化的函数表达式；

(2)画出这个函数的图象．

例3

用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．

3活动

(1)y＝x；(2)y＝－3x.

图4－3－3 2三：

解：(1)该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．当x＝0时，y＝0.开放

当x＝2时，y＝3，则该直线经过点(0，0)，(2，3)．其图象如图所示．

训练

(2)该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．当x＝0时，y＝0.当x体现

＝1时，y＝－3，则该直线经过点(0，0)，(1，－3)．其图象如图所示.

应用

【拓展提升】

例4

已知函数y＝(m＋1)xm2－3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是(B) 1A．2

B．－2

C．±2

D.

2[解析] ∵函数y＝(m＋1)xm2－3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，∴m2－3＝1，m＋1＜0，解得m＝－2，∴m的值是－2. 例5

如图4－3－4，三个正比例函数的图象对应的表达式分别为①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则a，b，c的大小关系是(B)

应用举例从知识的全局出发，从列函数的表达式和画函数图象到分析函数图象的性质都做了示范性训练，从各个角度去提高学生的应用能力．

图4－3－4 A．a＞b＞c

B．c＞b＞a C．b＞a＞c

D．b＞c＞a [解析] ∵y＝ax，y＝bx，y＝cx的图象都在第一、三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0.∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a.

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3

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(续表) 11例6

已知y关于x的函数y＝(m＋)(n－1)x|n|＋m2－是正比例函数．

24活动

三：

开放

训练

体现

应用

(1)求m，n的值；

(2)画出它的图象；

(3)写出它的一条性质．

12m－＝0，4|n|＝1，解：(1)由题意得解得n－1≠0，m＋1≠0，2正比例函数的表达式为y＝－2x.

(2)(3)略

当堂训练：P124练习T1，T2. 作业布置：P127习题4.3A组T1(1)，T2(1)．

【知识网络】

当堂检测，及时反馈绘图效果，并掌握正确的作图方法.

拓展训练注重全局性、提高性、综合性、应用性.

1m＝，n＝－1，所以2归纳教学知识点，形成知识主线，便于学生提炼与掌握.

【教学反思】

活动

①[授课流程反思]

四：

本节课通过教师的引导与启发，调动了学生的积极性，让学生在课堂课堂

上多活动(画图、交流、展示)、多观察(图象)，主动参与到整个教学总结

活动中来，最后发现其性质．

反思

②[讲授效果反思] 本节重在利用正比例函数的表达式画函数图象，在采用描点法画函数图象后并结合函数表达式去分析函数的性质，在教学时采用几何画板示范与现实的结合，提高了学生的认知能力，大大地提高了学生的学习效率．

③[师生互动反思] 在教学设计时，注重了学生的尝试并结合老师的电脑图形进行对比．通过对正比例函数的系数k的分析以及针对自变量取值范围的讨论，实现动手尝试，体现了教材例题的价值．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________ 积极的教学反思能促进教学发展，优化教学设计，促进教学效果的提升.

典案二

导学设计

导

学

案

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数学

八年级下册

设计者：

审核者：

课

题

学习目标

一次函数的图象

第一课时

知识与能力：理解一次函数和正比例函数的概念，以及他们之间的关系。

能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，并灵活运用一次函数解决生活中的实际问题。

过程与方法：通过对一次函数和正比例函数概念和关系的理解，对一次函数特点的认识与探究，培养学生观察、比较、归纳和概括的思维能力以及自学、合作探究能力。

情感态度与价值观：通过对一次函数概念、特点及应用的自主探究，渗透数形结合的思维方法，发展学生的数学应用能力，让学生获得自我求知的快乐。

重

点

难

点

一次函数与正比例函数的概念及其关系。能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，并灵活运用一次函数解决生活中的实际问题。

一次函数特点的认识与探究。能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，并灵活运用一次函数解决生活中的实际问题，发展学生的数学应用能力。

教

学

过

程

设问导入3 环节

自主合作交流10 汨罗市1度电收取0.58元电费，7月份，甲用户用了100度电，乙用户用了200度电。请说说：

（1）7月份甲、乙两用户分别得支付多少元电费？

（2）汨罗市电力局收缴7月份所有用户的电费又该如何计算呢？

学生活动

1、

学生自主阅读教材内容，观察实例，说说这三个实例所对应解析式所具有的相同点。

归纳、总结：

是一次函数。

表达式：

2、

利用的实例，回答：

如果公共汽车的加油时间为0，此时油箱中的油量是多少？

如果火炬手们没有向上攀登，也没有向下走，他们所在位置的温度又是多少？

归纳、总结：

是正比例函数。

是一次函数的

。

3、一次函数的特点：

。

4、量的取值范围：

。

学生合作探究，完成以下探究任务：

探究一：围绕三个实例，根据图表，粗略画出一次函数的图象

1、居民用电情况：

图像：

用电量x（kw.h）

电费y(元) 教师活动

巡查学生自学情况，给予指导和帮助；

组织学生交流展示，给予合理评价

巡查学生探究情况，给予指导、帮助。

合作探究

10 8 20 16 30 24 40 32 …

…

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数学

八年级下册

合作探究15

2、公共汽车加油情况：

图像：

0.5 1 1.5 2 加油时间x…

（min）

14 20 18 32 油量y（L）

…

3、温度变化情况：

图像：

1 2 -1 -2 增减高度x…

任务分（km）

工。

-5 -11 7 13 温度y（℃）

…

组织小1、观察图象，总结归纳一次函数的特点

。

组展2、观察自变量的取值范围，得出

示，给

。

予评价

探究二：利用P38实例，回答：

（1若加油时间为3(min)，那么此时油箱里的油量是多少升？

（2）若火炬手们向下走了2km，他们所在位置的温度是多少摄氏度？

探究三：试举生活中可以运用一次函数的实例。

1、下列式子中，哪些是一次函数，其中哪些又是正比例函数？

y=2x-1

y=-5x2

y= x /5

y=1/2x

y= x /2

y=3-x

2、学生利用课本第一个实例回答：

（1）小刚家今年10月份用电20度，他家应交电费多少元？

（2）小亮家今年用电30度，应交电费多少元？

3、如表

x y -2 -5 -1 -2 0 1 1 4 2 7 …

…

巡查学生练习情况，发现问题予以指导和帮助。

组织学生展示，核对答案。

巩固提升

15

根据上表写出y与x之间的关系式：

，y是否为x的一次函数？y是否为x的正比例函数？

4、

公民的节水意识，合理利用水资源。我市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按0.6每m3计算;每户每月用水量超过6 m3时，超过的部分按1元每m3收费。设每户每月用水量为x m3，应缴纳水费为y元。

（1）、写出每月用水量不超过6 m3和超过6 m3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。

（2）、已知某户8月份的用水量为8 m3，求该用户8月份的水费。

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