复习参考题优秀完整教案

六维度剖析抽象函数

龙泉中学

乔书沛

摘要：在高中函数的学习中，经常会遇到抽象函数的问题，对于很多有“恐函症”的同学来说，不能够准确理解对应的解题方法，无疑是雪上加霜。如果抽象函数再与恒成立问题、不等式等内容纠合到一起，更使得学生望而生畏。并且抽象函数会伴随着学生进入到高校，对函数的本质进行更深入的学习。本文针对高中学习中经常出现的题目类型，给出相应的解题方法及技巧，希望能够帮助学生更好的学习抽象函数。

关键词：定义域

对应关系

单调性

对称性

周期性

一、函数定义域的求法

试题1.（1）已知函数f(x21)的定义域为0,1，求f(x)的定义域. （2）已知函数f(2x1)的定义域为0,1，求f(2x1)的定义域. 解析：（1）f(x21)的定义域为0,1，即x0,1，

1x210，f(x)的定义域为1,0. （2）f(2x1)的定义域为0,1，即0x1

12x13

12x13

解得1x2

f(2x1)的定义域为1,2. 点评：抽象函数定义域问题需要把握两点：一.某一函数定义域指的是自变量x的范围，二.同一个对应法则下定义域必须相同。

二、函数解析式的求法

试题2.（1）已知f(2x)x1，求f(x). 11（2）已知f(x)x22，求f(x). xx1（3）已知f(x)2f()2x1，求f(x). x解析：（1）令2xt，则xlog2t,t0

f(t)log2t1，f(x)log2x1,x0,

1111（2）f(x)x22(x)22，x,22,

xxxxx,22,. f(x)x22，1（3）f(x)2f()2x1

①

x112用代换上式中的x，得f()2f(x)1

②

xxx2x2x4.

解①②得f(x)3x点评：求抽象函数解析式常用方法是换元法，其本质还是通过整体代换把对应关系f后变成变量x，其次要注意换元之后的变量的范围，这也是考试中容易忽略，从而丢分的地方。

11x2变式1.（1）若f(12x)2(x0),那么f()等于

2x1

（2）若f(sinx)cos2x，则f()等于

2三、抽象函数的单调性

题目3.已知函数f(x)对任意的x,yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，2f(x)0，f(1).（1）求证：f(x)在R上是减函数；

3（2）求f(x)在3,3上的最大值与最小值。

解析：（1）令xy0,得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.

又令yx，得f(x)f(x)f(0)0

f(x)f(x)

任取x1,x2R,且x1x2

由于x2x10

f(x2)f(x1(x2x1))f(x1)f(x2x1)f(x1)

yf(x)在R上是减函数. （2）由于3,3R

所以f(x)maxf(3)f(3)3f(1)2，f(x)minf(3)f(3)3f(1)2. 点评：抽象函数大题常用方法有赋值法和构造法，解答时一定要严格按照单调性证明的格式，在解抽象函数不等式的时候要特别注意定义域的范围，这是很多同学容易忽略丢分的地方。

变式2.已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(13x)，求x的取值范围；

变式3.已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(xy)f(x)f(y)1，②当x0时，f(x)1.（1）求f(0)的值，并证明f(x)在R上的单调性；

（2）若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.

四、抽象函数的奇偶性（对称性）

1.f(x)是奇函数①定义域关于原点对称②定义域内任意x满足f(x)f(x)；

2.f(x)是偶函数①定义域关于原点对称②定义域内任意x满足f(x)f(x)；

3.f(x)满足f(xa)f(x)f(x)关于x4.f(x)满足5.f(x)满足6.f(x)满足7.f(x)满足a对称；

2abf(xa)f(xb)f(x)关于直线x对称；

2af(xa)f(x)f(x)关于点(,0)对称；

2ab,0)对称；

f(xa)f(xb)f(x)关于点(2af(xa)bf(x)bf(x)关于点(,b)对称。

2题目4.（1）已知函数f(x)，xR.若对于任意实数a,b都有f(ab)f(a)f(b),求证：f(x)是奇函数. （2）已知函数f(x)，xR.若对于任意实数m,n都有f(mn)f(mn)2f(m)f(n)求证：f(x)是偶函数. 解析：（1）令ab0,可得f(0)0. 又令ax,bx，则f(0)f(x)f(x)

f(x)f(x)

又f(x)的定义域是R

f(x)是奇函数

（2）令m0,nx，得f(x)f(x)2f(0)f(x)

①

再令mx,n0，得f(x)f(x)2f(x)f(0)

②

由①②得f(x)f(x)，又f(x)的定义域是R，f(x)是偶函数. 点评：相比于抽象函数单调性的证明，奇偶性相对“简单、直接”一点，只需要适当构造即可。

变式4.（1）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，试比较f(4),f(3),f(1)的大小关系

；

（2）定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是

（3）f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1,则f(x)=

（4）已知定义域为,00,的偶函数f(x)在0,上为增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为

变式5.已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，若a,b1,1，当ab0时，则有f(a)f(b)0成立. ab（1）判断f(x)在1,1上的单调性并证明；

11)；

（2）解不等式f(x)f(2x1（3）若f(x)m22am1对所有的a1,1恒成立，求实数m的取值范围。

五、抽象函数的周期性

1.

若函数f(x)对定义域内所有x满足f(xa)f(x)周期T2a；

2.

若函数f(x)对定义域内所有x满足f(xa)1周期T2a；

f(x)

3.

若函数f(x)f(x)对定义域内所有x满足f(xa)1周期T2a。

f(x)题目5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且yf(x)的图像关于直线x2对称. （1）证明：f(x)是周期函数；

2（2）若当x2,2时，f(x)x1,求当x6,2时f(x)的解析式。

解析：（1）由已知f(x)f(x),f(2x)f(2x)对任意xR恒成立.所以

f(x4)f(x)f(x).故f(x)是以4为周期的周期函数. 22（2）令x6,2，则x42,2，f(x)f(x4)(x4)1x8x15.

点评：在求分段函数的解析式时，往往都是令x位于要求的区间内，通过构造把x放到已知区间上求解。

六、抽象函数性质的综合应用

x题目6.已知函数f(32)x1(x0,2)，将函数yf(x)的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到函数yg(x)的图像。

（1）求函数yf(x)与yg(x)的解析式；

2（2）设h(x)g(x)g(x),试求函数yh(x)的最值。

2xt32，则xlog3(t2)且t1,7

解析：（1）令f(t)log3(t2)1

f(x)lo3g(x2)1,x1,7. yg(x)f(x2)3log3x2,x1,9. 22（2）h(x)g(x)g(x)log3x2log3x2log3x6log3x6

2221x9其中x的范围满足，得1x3

21x92令tlog3x，则h(x)t6t6,t0,1

2h(x)h(1)16613;h(x)minh(0)6.

所以max点评：本题主要考察抽象函数解析式的求法以及换元法求值域。但是要特别注意抽

象函数的定义域。

变式6.（1）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(x)，2且当0x1时，f(x)x。则当2x0时，f(x)

（2）已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x)f(2x),且f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(201)的值为8

（3）定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，都有f(x2)f(x)f(1)，且2当x2,3时，f(x)2x12x18，若函数yf(x)logax1在R上恰有六个零点，则实数a的取值范围是

（4）已知函数f(x)是定义在,00,上的奇函数，且在区间,0上单调递减，f(1)0。若实数a满足f(log2a)f(log1a)2f(1)，则实数a的取值范围是

2（5）若定义在R上的函数f(x)满足：f(x1x2)f(x1)f(x2)1，其中x1,x2R，则下列说法一定正确的是

（

）

A.

f(x)为奇函数

B.f(x)1为奇函数

C.f(x)为偶函数

D.f(x)1为偶函数

log3x,0x3补充题：已知函数f(x)，若f(a)f(b)f(c)。

1log3x,x3（1）求abc的范围；

（2）求abbcac的范围。