探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质多媒体教学设计及其点评

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和解析式

授课教师：杨远东

授课班级：高三.10班

一.教学目标

1理解振幅、周期、频率、初相的定义；

2理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律; 3会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和对函数图象的影响作用；

二.教学重点

熟练地对y＝sinx进行振幅、周期和相位变换。

三.教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。

四.教学过程

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)

(A>0，ω>0)

振幅

A 周期

T＝2π

ω频率

1ωf＝T＝

2π相位

ωx＋φ

初相

φ

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ)

3．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

φ－

ω0

0

φπ－ω＋

2ωπ

2A π－φ

ωπ

0

3πφ－

2ωω3π

2－A 2π－φ

ω2π

0

[小题体验]

1π2x－的振幅为__________，周期为________，初相为________．

1．函数y＝sin432πx－在一个周期内的图象时，2．用五点法作函数y＝sin主要确定的五个点是______、6______、______、______、______．

1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．

2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．

φ3．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为ω，而不是|φ|．

[小题纠偏]

11．把y＝sin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图象，则ω的2值为________．

π2x＋的图象向右平移______个2．要得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin3单位长度．

考点一

函数y＝Asinωx＋φ的图象与变换重点保分型考点——师生共研

π例1.某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在某一个周期内的图象2时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

x Asin(ωx＋φ)

0

0

π

2π

35

π

3π

25π

6－5

2π

0

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)5π的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为12，0，求θ的最小值．

[由题悟法]

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法

五点法

π3π设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得22出五点坐标，描点后得出图象

图象变换法

由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”

[提醒]

平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

π12x＋的图象向右平移个周期后，所得[即时应用] 1．(2016·全国乙卷)将函数y＝2sin64图象对应的函数为(

) π2x＋

A．y＝2sin4π2x－

C．y＝2sin4π2x＋

B．y＝2sin3π2x－

D．y＝2sin3πx＋的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到2．(2016·西安质检)将函数f(x)＝sin6原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是(

) πππA．x＝－

B．x＝ C．x＝

12123

D．x＝2π

3π例2.（2016·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，211π则f24的值为(

)

A．－632

B．－ C．－

D．－1 222例3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周ππ期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(

) 23π4x＋

A．y＝4sin6π4x＋＋2

C．y＝2sin3

[由题悟法]

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法

π2x＋＋2 B．y＝2sin3π4x＋＋2 D．y＝2sin6

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝2π(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝T；

(3)求φ：常用的方法有：

M－mM＋m，b＝；

22①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

第一点

第二点

第三点

第四点

第五点

[即时应用]

πωx－(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，△1．(2017·福州模拟)已知函数f(x)＝Asin4EFG是边长为2的等边三角形，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将f(x)的图象(

) 11A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位

22ππC．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

442．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是(

) 7ππ2kπ－，2kπ－，k∈Z A．1212π5π2kπ－，2kπ＋，k∈Z B．12127ππkπ－，kπ－，k∈Z C．1212π5πkπ－，kπ＋，k∈Z D．1212五.小结

六.作业

P197《三维设计》黄皮书一抓基础1-4题 二保高考1-6题

图象上升时与x轴的交点

ωx＋φ＝0 π图象的“峰点”

ωx＋φ＝

2图象下降时与x轴的交点

ωx＋φ＝π

3π

2图象的“谷点”

ωx＋φ＝

ωx＋φ＝2π