2.3.1 变量之间的相关关系优质课教案推荐

第二章

2.3

2.3.1、2.3.2 基础巩固

一、选择题

^1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是(

) ^－－A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y) ^B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点

－－xiyi－n

x

y－2x2i－n

xnn^C．直线y＝bx＋a的斜率为i＝1

i＝1n^D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差[yi－(bxi＋a)]2是该坐i＝1标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．

[答案]

B ^[解析]

由a＝y－b

x知y＝y－b

x＋bx，∴必定过(x，y)点．

回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的，但不一定过原始数据点，只须和这些点很接近即可．

2．下列说法正确的是(

) A．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小

B．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小

C．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小

D．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大

[答案]

C 3．(2015·辽宁鞍山调研)两个变量成负相关关系时，散点图的特征是(

) A．点从左下角到右上角区域散布

B．点散布在某带形区域内

C．点散布在某圆形区域内

D．点从左上角到右下角区域散布

[答案]

D

4．(2014·重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数x＝2.5，y＝3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为(

) ^A.y＝0.4x＋2.3

^C.y＝－2x＋9.5

[答案]

A ^^^[解析]

∵y＝bx＋a，正相关则b＞0，∴排除C，D.∵过中点心(x，y)＝(3,3.5)，∴选A. 5．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它的原料有效成分含量x之间的相关关素，现取了882对观测值，计算得：xi＝52，yi＝228，xi＝478，xiyi＝1849，则i＝1i＝1i＝1i＝1^B.y＝2x－2.4 ^D.y＝－0.3x＋4.4 888y对x的回归直线的方程是(

) ^A.y＝11.47＋2.62x

^C.y＝2.62＋11.47x

[答案]

A 1811318157^[解析]

由已知得x＝xi＝×52＝，y＝yi＝×228＝，所以b＝8i＝1828i＝182^B.y＝－11.47＋2.62x

^D.y＝11.47－2.62x

i＝1xiyi－8x

y2x2i－8x8813571849－8××225713^^^＝≈2.62，a＝y－bx≈－2.62×＝11.47，所以y＝1322478－8×22i＝12.62x＋11.47. 6．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s和t，那么下列说法中正确的是(

) A．直线l1、l2一定有公共点(s，t) B．直线l1、l2相交，但交点不一定是(s，t) C．必有直线l1∥l2

D．l1、l2必定重合

[答案]

A ^^^[解析]

线性回归直线方程为y＝bx＋a，而a＝y－bx，即a＝t－bs，t＝bs＋a，所以(s，t)在回归直线上，直线l1、l2一定有公共点(s，t)．

二、填空题

7．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的^回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

[答案]

0.254 ^[解析]

由于y＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．

8．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温(℃)

用电量(度)

18

24

13

34

10

38

－1 64 ^^^^由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．

[答案]

68 18＋13＋10－124＋34＋38＋64[解析]

x＝＝10，y＝＝40，因为回归方程一定过点44(x，y)，

^^^所以y＝bx＋a，则a＝y－bx＝40＋2×10＝60. ^^^则y＝－2x＋60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68. 三、解答题

9．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元) x y (1)画出散点图；

(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？

[解析]

(1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：

2

30

4

40

5

60

6

50

8 70

(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小

变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．

10．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：

转速x(转/秒)

每小时生产有缺损零件数y(个)

(1)作出散点图；

(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；

(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？

[解析]

先作出散点图，再根据散点图判断y与x呈线性相关，从而建立回归直线方程求解．

解：(1)作散点图如图所示．

16

11

14

9

12

8

8 5

^(2)由散点图可知y与x线性相关．故可设回归直线方程为y＝bx＋a. 依题意，用计算器可算得：

x＝12.5，y42＝8.25，xi＝660，xiyi＝438. i＝1i＝14438－4×12.5×8.25∴b＝≈0.73，a＝y－bx≈8.25－0.73×12.5＝－0.875. 660－4×12.52^∴所求回归直线方程为y＝0.73x－0.875. ^(3)令y＝10，得0.73x－0.875＝10，解得x≈15. 即机器的运转速度应控制在15转/秒内．

能力提升

一、选择题

^1．(2014·湖北)根据如下样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，则(

) x y A.a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 3

4.0

4

2.5

5

－0.5

6

0.5

7

－2.0

8 －3.0 B．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＞0

[答案]

A [解析]

由于x增大y减小知b＜0，又x＝3时y＞0，∴a＞0，故选A. 2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)

销售额y(万元)

4

49

2

26

3

39

5 54 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(

) A．63.6万元

C．67.7万元

[答案]

B [探究]

由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，然后结合该方程对x＝6时的销售额作出估计．

^^[解析]

样本点的中心是(3.5,42)，则a＝y－bx＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方^^程是y＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5. 3．已知x与y之间的几组数据如下表：

x y 1

0

2

2

3

1

4

3

5

3

6 4 B．65.5万元

D．72.0万元

^^^假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(

) ^^A.b＞b′，a＞a′

^^C.b＜b′，a＞a′

[答案]

C ^^^^[探究]

先由已知条件分别求出b′，a′的值，再由b，a的计算公式分别求解b，a的值，即可作出比较．

[解析]

由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，从而b′＝2，a′＝－2.^^B.b＞b′，a＜a′

^^D.b＜b′，a＜a′

^而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b＝i＝1xiyi－6x·y2x2i－6xi＝166－71358－6××26＝791－6×225^13571^^^＝，a＝y－bx＝－×＝－，所以b＜b′，a＞a′. 767234．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：

x y 10

62

20

▲

30

75

40

81

50 89 ^由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为(

) A．60 C．68 [答案]

C [解析]

由题意可得x＝30，

代入回归方程得y＝75. 设看不清处的数为a，

则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68. [点评]

表中所给的数据只反映x与y的线性关系，并非函数关系，因而不能直接代入^线性方程求预报值y，应根据线性回归方程性质，即线性回归方程经过中心点(x，y)求解．

二、填空题

5．2010年4月初，广东部分地区流行手足口病，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的2010年4月1日到2010年4月12日每天广州手足口病治愈出院者数据，根据这些数据绘制散点图如图. 日期

人数

B．62 D．68.3 1

100

2

109

3

115

4

118

5

121

6 134

日期

人数

7

141

8

152

9

168

10

175

11

186

12 203

下列说法：

①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数且有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超过这12天内北京市治愈出院人数的20%. 其中正确的个数是________．

[答案]

2 6．改革开放30年以来，我国高等教育事业迅速发展，对某省1990～2000年考大学升

学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990～2000年依次编号为0～10，回归分析之后得到每年考入大学的百分比y与年份x的关系为：

^城市：y＝2.84x＋9.50；

^县镇：y＝2.32x＋6.67；

^农村：y＝0.42x＋1.80. 根据以上回归直线方程，城市、县镇、农村三个组中，________的大学入学率增长最快．按同样的增长速度，可预测2010年，农村考入大学的百分比为________%. [答案]

城市

10.2 [探究]

增长速度可根据回归直线的斜率来判断，斜率大的增长速度快，斜率小的增长速度慢．

[解析]

通过题目中所提供的回归方程可判断，城市的大学入学率增长最快；2010年农村考入大学的百分比为0.42×20＋1.80＝10.2. 三、解答题

7．(2014·新课标全国Ⅱ高考)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表

年份

年份代号

人均纯收入y 2007

1

2.9

2008

2

3.3

2009

3

3.6

2010

4

4.4

2011

5

4.8

2012

6

5.2

2013 7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

^b＝i＝1

ti－tyi－y

ti－t2nn^^，a＝y－bt. i＝11[解析]

(1)由所给数据计算得t＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

71y＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

7i＝1

(ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

7

i＝1

(ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋72×0.9＋3×1.6＝14，

^b＝i＝1

ti－tyi－y

ti－t2nn14＝＝0.5，

28i＝1^^a＝y－bt＝4.3－0.5×4＝2.3，

^所求回归方程为y＝0.5t＋2.3. (2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，^平均每年增加0.5千元，将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元．

8．(2013·重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x2i＝720. i＝1i＝1i＝1i＝110101010^^^(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

^^^^附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝i＝1xiyi－nx

y2x2i－nxi＝1n－n－^^，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．

[探究]

(1)根据线性回归方程求相关的量后，代入公式即可求得回归方程；(2)观察线性^回归方程的系数b

可判断是正相关还是负相关；(3)将x＝7代入线性回归方程即可求得预报变量，即该家庭的月储蓄．

1n801n20[解析]

(1)由题意知n＝10，x＝xi＝＝8，y＝yi＝＝2，

ni＝110ni＝110－－n222又xi－nx＝720－10×8＝80，xiyi－nx

i＝1i＝1ny＝184－10×8×2＝24，

^由此得b＝i＝1xiyi－nx

y＝2x2i－nxi＝1n－n－24^^＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，

80^故所求回归方程为y＝0.3x－0.4. ^(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．

^(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．