复习参考题第二课时教案

§3.1

习题课

课时目标

1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．

1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则(

) A．f(0)>0，f(2)<0 B．f(0)·f(2)<0 C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0 D．以上说法都不正确

2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是(

) A．0

B．1 C．2

D．1或2 x＋23．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(

) xA．(－1，－log32)

B．(0，log32) C．(log32,1)

D．(1，log34) 4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________．

15．函数y＝()x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1) 26．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个．

一、选择题

1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是(

) A．(0,0.5) B．(0.5,1) C．(1,1.5) D．(1.5,2) 2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是(

) A．[0,1]

B．[1,2]

C．[2,3]

D．[3,4]

3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间(

) A．(0,1)

B．(1,1.25) C．(1.25,1.75)

D．(1.75,2) 4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(

) A．[－2,1]

B．[－1,0]

C．[0,1]

D．[1,2]

5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a

实数a，b，α，β的大小关系是(

) A．a<α<β

B．α

C．α

D．a<α

题

号

1

2

3

4

5 答

案

二、填空题

6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01. 7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．

8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为___________________．

9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．

三、解答题

10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：

f(1)＝－2

f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984

f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162

f(1.406 25)≈－0.054 32求方程x＋x－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)．

11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，

(1)有两个负根；

(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；

(3)有两个实根，且都比1大．

能力提升

12．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；

(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；

(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？

13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．

1．函数与方程存在着内在的联系，如函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可

通过构造方程来研究函数的相关问题．利用函数与方程的相互转化去解决问题，这是一种重要的数学思想方法．

2．对于二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0根的问题，从函数角度解决有时比较简洁．一般b地，这类问题可从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴x＝－与区间端2a点的关系；④区间端点函数值的正负．

§3.1

习题课

双基演练

1．D

[函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故A、B、C都是错误的，正确的为D.]

2．D

[当f(x)的图象和x轴相切与y轴相交时，函数f(x)的零点个数为1，当f(x)的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时，函数f(x)有2个零点．]

23．C

[f(x)＝log3(1＋)－a在(1,2)上是减函数，由题设有f(1)>0，f(2)<0，解得a∈x(log32,1)．] 4．2 解析

作出函数y＝2x及y＝x＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．

5．1.9(答案不唯一) 111解析

令f(x)＝()x－lg x，则f(1)＝>0，f(3)＝－lg 3<0，∴f(x)＝0在(1,3)内有一解，228利用二分法借助计算器可得近似解为1.9. 6．2 解析

设f(x)＝4x2－6x－1，由f(－1)>0，f(2)>0，且f(0)<0，知方程4x2－6x－1＝0在

(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．

作业设计

1．B 2．B

[因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，

所以存在一个零点x∈[1,2]．] 7713．D

[构造函数f(x)＝lg x＋x－2，由f(1.75)＝f()＝lg－<0，f(2)＝lg 2>0，知x0属444于区间(1.75,2)．] 4．A

[由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．] 5．A

[函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b. 由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β

区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为

111<＝0.01. 7＝21281007．0 解析

不妨设它的两个正零点分别为x1，x2. 由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，

于是x1＋x2－x1－x2＝0. 8．(－1,0) 解析

设f(x)＝x2－2x＋p＋1，根据题意得f(0)＝p＋1>0，

且f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－1

9．a<0 1解析

对ax2＋2x＋1＝0，当a＝0时，x＝－，不符题意；

2当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，得x＝－1(舍去)．

当a≠0时，由Δ＝4－4a>0，得a<1，

又当x＝0时，f(0)＝1，即f(x)的图象过(0,1)点，

21f(x)图象的对称轴方程为x＝－＝－，

2aa1当－>0，即a<0时，

a方程f(x)＝0有一正根(结合f(x)的图象)；

1当－<0，即a>0时，由f(x)的图象知f(x)＝0有两负根，

a不符题意．故a<0. 10．解

∵f(1.375)·f(1.437 5)<0，

且|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，

∴方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可取为区间(1.375，1.437 5)中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如1.437 5. 11．解

(1)方法一

(方程思想) 设方程的两个根为x1，x2，

Δ＝4－4m＋1≥0，则有两个负根的条件是x1＋x2＝－2<0，x1x2＝m＋1>0，解得－1

方法二

(函数思想) 设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点均在y轴左侧，结合函数的图象，有

Δ＝4－4m＋1≥0，b－2a＝－1<0，f0＝m＋1>0，解得－1

(2)方法一

(方程思想) 设方程的两个根为x1，x2，则令y1＝x1－2>0，y2＝x2－2<0，问题转化为求方程(y＋2)2＋2(y＋2)＋m＋1＝0，即方程y2＋6y＋m＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y1y2＝m＋9<0，解得m<－9. 方法二

(函数思想) 设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，

有f(2)＝m＋9<0，解得m<－9.

Δ＝4－4m＋1≥0，(3)由题意知，x1－1＋x2－1>0，x1－1x2－1>0Δ＝4－4m＋1≥0，b或－2a＝－1>1，f1＝m＋4>0

(方程思想)，

(函数思想)，

因为两方程组无解，故解集为空集．

2x－4x，

x≥4，12．解

(1)f(x)＝x|x－4|＝2

－x＋4x，

x<4.

图象如右图所示．

(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；

又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5. (3)由图象可知，当0

方程f(x)＝a有三个解．

13．解

①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．

②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，

∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，

1>0f0>03∴f1<0，即a－2＋1<0，解得04a－4＋1>0

③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，

1则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．

a3综上，a的取值范围为