探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质优质课教案整理

任意角的三角函数

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 授课类型：新授课

教学模式：讲练结合

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．三角函数的定义及定义域、值域：

练习1：已知角的终边上一点P(3,m)，且sin2m，求cos,sin的值。

4解：由题设知x3，ym，所以r2|OP|2(3)2m2，得r3m2，

从而sin2mmm2，解得m0或1662mm5．

4r3m2当m0时，r3,x3， xycos1,tan0；

rx当m5时，r22,x3，

x6y15；

,tanr4x3当m5时，r22,x3，

x6y15．

,tanr4x3coscos2．三角函数的符号：

练习2：已知sin0且tan0，

（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断tan,sincos的符2222号。

3．诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值：

（1）cos9119)， （3）sin， （2）tan(． 462二、讲解新课： 22当角的终边上一点P(x,y)的坐标满足xy1时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

3．三角函数线的定义：

设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y)，

过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延

长线交与点T. y

y

T

P

P

A

A

ox

Mo

M

x

（Ⅱ）

（Ⅰ）

T

y

T

M

A

M

A

x

o

x

o

P

（Ⅲ）

（Ⅳ）

T

P

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx,MPy，于是有

yyxxyMP， cosxOM，

r1r1yMPATtanAT．

xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

sin说明：

①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦

线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位

圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的

为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）5213； （2）； （3）； （4）．

6336解：图略。

例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1 sin242424与sin 2

tan与tan 3

cot与cot

353535

解：

如图可知：

S2 S1 B P2 P1 sinT2 24

sin35o A 24

 tan3524cot

cot

35tan例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角

1 sin≥T1 13 2 tan

23y 30

T

y 解：

1 2

P2 P1

o x o x A

210

30≤≤150 3090或210270

例4．利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围。

11； （2）cosx； 2211（3）0x,sinx且cosx；

2211（4）|cosx|； （5）sinx且tanx1．

227112kx2k,kZ；答案：（1）（2）2kx2k,kZ；

66665,kZ；（3）x（4）kxk,kZ；

36626232k,kZ．

（5）2kx24（1）sinx

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：

补充：1．利用余弦线比较cos64,cos285的大小；

2．若42，则比较sin、cos、tan的大小；

3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：

（1）cos33

； （2）tan1

； （3）sin．

22六、板书设计：