信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学内容分析

《两角差的余弦公式》教学设计与反思

嵩县五高 姬世河

一、教材分析

1．教材的地位和作用

本节课的内容具有承上、启下和辐射的作用。它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和余弦、两角和与差正弦、正切及二倍角公式的基础。对于三角变换、三角函数式的化简、求值和恒等式证明等问题的解决有重要的支撑作用。

2．教学重点与难点

⑴教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式及其应用。

⑵教学难点：两角差的余弦公式的探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等。

设计依据：由于“两角差的余弦公式的推导及应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，因此它是本节课的一个重点。由于“两角差的余弦公式的推导”需要构造向量来解决，所以它是本节课的一个难点。

二、教学目标

1．知识与技能

使学生理解两角差的余弦公式的推导，并能初步应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

2．过程与方法

⑴经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系，体会特殊到一般及数形结合的思想；

⑵在诱导公式的推导过程和公式的初步运用中体会角的代换思想。

3．情感、态度、价值观

⑴让学生在公式的推导和运用过程中体验成功的喜悦，培养学生不怕困难、勇于探索的求知精神；

⑵通过观察、对比体会公式的对称美、思维的和谐美，给学生以美的陶冶。

三、教学教法

著名的荷兰现代教育家弗兰·登塔尔认为，学生具有“潜在的发展能力”，数学教育就应当从发展这种潜能出发，从学生熟悉的现实生活开始，从生活问题到数学问题，从具体到抽象，从特殊到一般，逐步让学生通过自己的发现去学习数学，获取知识，以实现数学问题的“再发现”过程。据此，我对本节课的教学方法采用“自主探究、教师引导、小组讨论、合作交流”的教学模式，来完成公式的发现、推导和应用过程。

教法：教师与学生展开双边活动。提问——探索，重在交流；启发——证明，重在发现；演示——应用，重在创新。

数学思想方法贯穿其中：联想法——通过余弦值联想到余弦线；类比法——差角公式的右边与向量数量积的坐标表示；数形结合——三角函数方法、向量方法；分类讨论——推导过程、例题。

学法：自主探究——公式的猜想与发现；小组讨论——用向量方法证明公式；合作交流——两角差与相应向量的夹角。教师引导贯穿始终。

四、课堂结构分析

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合理的课堂结构设计及其实施是完成课堂教学任务的根本保证，也是实施素质教育、大面积提高教学质量的基本途径。为了顺利完成本节课的教学，根据建构主义观点和数学学科的特点，站在教师引导学生的角度，采用如下的课堂教学结构：

教学环节

时间分配

自主建构模式

目的任务

复习检查

知识与技能的准备

约5分钟

引入新课

问题情境

创设情境，提出问题，情感预热

学生活动

启发引导学生分析解决问题，理解数学

建构数学

约25分钟

意义建构

意义，建立数学理论

数学理论

巩固练习

约10分钟

应用数学，加深理解，训练技能

数学运用

小结提升

约4分钟

回顾反思

回顾反思，小结提升

课外作业

约1分钟

进一步巩固练习，提高能力

[设计意图] 1．“复习检查”和“引入新课”的时间合在一起有两个意图，一个是要求复习和引入总共用时不能太多，需要把课开始后5分钟到30分钟这段课堂教学的最佳时间用于建构数学；另一个是引入常常也是在旧知识的基础上；

2．“建构数学”的主要目的是一定要让学生成为学习的主人，方法上以“启发引导学生分析解决问题，理解数学意义，建立数学理论”为主；

3．“巩固练习”是必须的，这是由教育学中的巩固性教学原则和数学学习中意义的保持和遗忘规律决定的。数学的练习尤其重要，因为不仅许多数学理论需要通过具体数学问题的解答来进一步理解，而且数学技能的形成、数学能力的提高都需要通过一定量的练习来完成。

五、教学过程

本节课的教学过程分六个环节。

1．创设情景，引入新课

提出有关章头图的一个实例。

从实例引入课题，目的在于从中提出问题，引入研究课题。

⑴实例中，存在研究象tan(45)这样包含两个角的三角函数的需要。

⑵实例中，存在研究45的三角函数与单角45、的三角函数的关系的需要。

[设计意图] 数学源于生活，引导学生从生活中发现数学，体会数学就在身边，同时，数学也是服务于生活与实践的。

2．明确任务，探索归纳

⑴对于30、45、60等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可以进一步求120、210、690等角的三角函数值，我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。

⑵若已知、的三角函数值，那么cos()的值能否确定？它与、的三角函数值有什么关系？这是我们本课时需要探索的问题。

[设计意图] 新知识的产生与形成离不开发散思维与联想，对已学知识的深入思考一定会引出新的矛盾，这些矛盾是激励学生成长的重要因素，也是激发学生数学兴趣的途径。

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为了引导好学生探索归纳，我设计了8个思考。

思考1：设、为两个任意角，你能判断cos()coscos恒成立吗？

思考2：我们设想cos()的值与、的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你能有什么发现？

sin30cos(6030)

cos60

cos30

sin60

11333

22222cos60sin60cos(12060)

cos120

sin120

11133

22222思考3：一般地，你能猜想出cos()等于什么吗？

思考4：如图1，设、为锐角，且，角的终边与单位圆的交点ycos()为P1，POP，那么表示哪条线段长？

1思考5：如何用线段分别表示sin和cos？

P1思考6：coscosOAcos，它表示哪条线段长？

AsinsinAPsin，它表示哪条线段长？

PC思考7：利用OMOBBMOBCP可得什么结论？

思考8：上述推理能说明对任意角、都有

BMOcos()coscossinsin成立吗？

图1[设计意图] 循序渐进，尊重知识的形成规律，让学生感受知识的产生是自然而然的、水到渠成的。

3．自主探究，证明公式

为了帮助学生突破难点，我设计了4个探究。

探究1：根据coscossinsin的结构特征，你能联想到一个相关的计算原理吗？

探究2：如图2，设角、的终边与单位圆的交点分别为A、B，则OA、xOB的坐标分别是什么？其数量积是什么呢？

yy

终边终边

终边终边AB

BA

xxOO

(2)

(1)图2

探究3：向量的夹角与、有什么关系？根据数量积的定义，OAOB等第

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于什么？由此可得什么结论？

探究4：公式cos()coscossinsin称为两差角的余弦公式，记作C()，该公式有什么特点？如何记忆？

教师强调公式中、的任意性。

[设计意图] 由于学生对向量的工具性作用的体会还很浅，所以既要给学生思考的空间，又要加强引导；同时既要让学生体会向量法证明的简捷性，又要培养学生思维的灵活性和发散性。

教师让学生用自已的语言描述公式C()的特点。

代替公式中的，你会发现什么结论？

2学生自主探索得到结论cos()sin后，教师提出如何证明2sin()cos，cos(2)cos等。学生独立完成后，师生共同回忆诱导2公式的规律。

[设计意图] 让学生体会代换的思想，引导学生诱导公式可用C()得到证明，初尝获得引伸问题：若以公式后的喜悦。诱导公式的复习，为后面两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导作好准备。

4．巩固新知，理论迁移

例1．利用两角差的余弦公式求cos15的值。

接着例1设计了3个变式训练。

变式：利用C()化简：

⑴cos53cos23sin53sin23；

⑵cos()cos()sin()sin()；

⑶cos67sin68sin113sin22

还有一个思考：你会求sin75吗？

学生自主完成。

[设计意图] 例1是公式的正向运用，同时让学生体会把非特殊角转化为特殊角的思想；变式属于公式的逆向运用，培养学生的逆向思维和化归能力。

45(,)，cos，是第三象限角，例2．已知sin，求cos()5213的值。

[设计意图] 例2既是对公式的正向运用，同时要为运用公式C()扫清障碍；再次让学生体会由、的任意性赋予公式C()的强大功能，探索三角公式之间的内在联系。

接着例2设计了3个练习：

⑴利用()可得cos等于什么？

⑵若已知和的三角函数值，如何求cos的值？

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⑶若coscosa，sinsinb，则cos()等于什么？

[设计意图] 本练习对公式C()的理解提出了进一步的要求，同时遵循了循序渐进的教学原则。

5．小结反思，任务后延

教师引导学生围绕以下方面进行小结：

⑴知识层面

用三角函数探究公式；用向量方法证明公式——感受向量的工具性作用。

⑵思维能力层面

联想、类比、换元；特殊与一般；数形结合、分类讨论。

[设计意图] 让学生通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程的理解，领会数学研究的有关基本方法和途径，学习并能应用数学思想与方法解决有关问题。

6．布置作业，分层练习

（有必做题、选做题和思考题）

⑴必做题：教材第127页练习2、3、4题。

⑵选做题：教材第137页习题A组2、3、4、5题。

⑶思考题：怎样求cos()、sin()及sin()？

[设计意图] 分层作业，关注学生的个体差异，满足不同学生的学习要求。

六、课件使用设想

使用计算机辅助教学，能够优化教学过程，实现教学过程的多元化、直观化、形象化、主体化。

本节课的内容多、任务重、覆盖广，使用计算机辅助能使学习任务顺利完成。

在公式的探索过程中，涉及的图形较复杂，使用计算机辅助能化繁为简，解决问题形象生动，易于难点突破。

七、教学反思

本节课始终贯彻在教师的有效指导下，学生主动参与公式的发现、推导和应用，在活动中体会数学思想方法、领悟数学本质的理念。

同时还有几点思考：

⑴用向量方法证明公式有其特有的优越性，但是向量方法学生很难想到，这就需要教师给学生思维恰当的引导，这样做不是降低学生的思维层次，反而能够提高思维的有效性，从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一；

⑵教材的引入中，易造成误会两向量夹角即为，教学设计时一定要把与的关系澄清；

⑶不管先证明哪个公式，用哪种方法证明公式，教师都应该从学生的最近发展区入手，最符合学生认知规律的设计才是最好的。

以上就是我对《两角差的余弦公式》的教学设计，请提宝贵意见。

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