复习参考题教案和学案内容

学案设计 第一章

三角函数

本章小结

学习目标

1.任意角的概念与弧度制;任意角三角函数的定义; 2.同角三角函数的关系、诱导公式; 3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质; 4.函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义;函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换; 5.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题.

学习过程

复习回顾本章知识

一、同角三角函数基本关系式的运用

【例1】若tanα=

,求: (1) 的值; - (2)2sin2α-sinαcosα+cos2α的值.

【例2】若sinθcosθ=

,θ∈(

),求cosθ-sinθ的值.

【例3】已知f(α)=(1)化简f(α); (2)若α是第三象限的角,且cos(α-)=,求f(α)的值; (3)若α=-1860°,求f(α)的值.

二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用

【例4】求下列函数的定义域: (1)f(x)=

- ;(2)f(x)=tan(sin x); (3)f(x)=

.

-

-

-

-

.

学案设计 【例5】求下列函数的周期: (1)y=

【例6】已知函数f(x)=

sin(2x-

)+2sin2(x- )(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.

【例7】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin2x-tan x;(2)f(x)= - ;

.

;(2)y=2sin(x-)sin x;(3)y=

-

(3)f(x)=cos(sin x);(4)f(x)=

.

【例8】已知函数f(x)=lo

(sin x-cos x).

(1)求它的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性;(3)求它的单调区间;(4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.

【例9】已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x,x∈R.求: (1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合; (2)函数f(x)的单调增区间.

三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换

【例10】已知函数f(x)=2cos2ωx+

sin2ωx(其中0<ω<1),若直线x=

为其一条对称轴.

(1)试求ω的值; (2)作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.

【例11】已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<

),且y=f(x)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).

(1)求φ;

学案设计 (2)计算f(1)+f(2)+…+f(2014).

【例12】设函数f(x)=

cos2ωx+sinωxcosωx+a(其中ω>0,a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是

.

(1)求ω的值; (2)如果f(x)在区间[-

四、三角函数的运用

【例13】某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据:

t/时

0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米

10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

]上的最小值为

,求

a的值.

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωx+b的图象.

(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?

【例14】如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米?

学案设计

【例15】如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮,其中扇形ATPS是一半径为90米的扇形小山,P是弧TS上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场的最大值与最小值.

【例16】将一块圆心角为120°、半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)(2)的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径OA上,或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.

课堂小结

主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质,这是本章的核心知识点,主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想.

拓展提升

1.若sinθ=-,cosθ=,则角2θ的终边在(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知sinθ=k-1,cosθ=4-3k,且θ是第二象限角,则k应满足的条件是(

) A.k>

3.已知A.

B.k=1

C.k=

)

D.k>1

=-,那么的值是(

-

B.-

C.2

D.-2

学案设计 4.给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是(

) ①最小正周期是π;②图象关于点(,0)对称

A.y=cos(2x-)

B.y=sin(2x+) C.y=sin(

)

D.y=tan(x+

) 5.为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是(

) A.98π

B. π

C.

π

D.100π

6.函数f(x)=cos2x+sin x在区间[-

]上的最小值是(

) A.

-

B.-D.

C.-1

-

7.函数f(x)=sin(2x+φ)+

cos(2x+φ)的图象关于原点对称的充要条件是(

) A.φ=2kπ-,k∈Z

B.φ=kπ-,k∈Z

C.φ=2kπ-,k∈Z D.φ=kπ-,k∈Z

8.在△ABC中,C>

,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是(

) A.f(cos A)>f(cos B)

C.f(sin A)>f(cos B)

B.f(sin A)>f(sin B)

D.f(sin A)

9.同时具有性质“(1)最小正周期是π;(2)图象关于直线x=对称;(3)在[-

]上是增函数”的一个函数是(

) A.y=sin(

)

B.y=cos(2x+

) C.y=cos(2x-)

D.y=sin(2x-) 10.若把一个函数的图象按a=(-,-2)平移后得到函数y=cos

x的图象,则原图象的函数解析式是(

) A.y=cos(x+

)-2

B.y=cos(x-

)-2 C.y=cos(x+)+2

D.y=cos(x-)+2 11.为了得到函数y=sin(2x-

)的图象,可以将函数y=cos2x的图象(

) A.向右平移

个单位长度

C.向左平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

D.向左平移

个单位长度

学案设计

12.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的取值是(

) A.ω=1,φ=

C.ω=

,φ=

B.ω=1,φ=-

D.ω=

,φ=-

13.若函数f(x)图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后再将整个图象沿x轴向右平移个单位长度,向下平移3个单位长度,恰好得到y=sin

x的图象,则f(x)=

.

14.函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0)为奇函数的充要条件是

;为偶函数的充要条件是

.

15.一正弦曲线的一个最高点为(

,3),从相邻的最低点到这最高点的图象交x轴于(-

,0),最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为

.

16.已知方程sin x+cos x=k在0≤x≤π上有两解,求k的取值范围.

17.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的最小值是-2,其图象相邻最高点与最低点横坐标的差是3π,又图象过点(0,1),求函数解析式.

18.已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(A,B,ω是实常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x=时,f(x)max=2.

(1)求f(x).

(2)在闭区间[

请说明理由.

]上是否存在

f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,

学案设计

参考答案一、同角三角函数基本关系式的运用

【例1】解:(1)(2)原式= -

-

=-3-2

;

-

-

-

-

-

.

【例2】解:(cosθ-sinθ)2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-

, ∵θ∈(

),∴cosθ

【例3】解:(1)f(α)=

-

=-cosα.

(2)∵cos(α-

)=-sinα, ∴sinα=-

,又α是第三象限的角, ∴cosα=-

-

=-

- =-

, ∴f(α)=

.

(3)∵α=-1860°=-6×360°+300°, ∴f(α)=f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-6×360°+300°)=-cos60°=-.

二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用

【例4】解:(1)由

-tan x≥0,得tan x≤

,∴kπ-

∴f(x)的定义域为(kπ-,kπ+](k∈Z).

(2)∵-

<-1≤sin x≤1<

,∴x∈R.即f(x)的定义域为R.

-

(3)由已知得

-

∈

∈

-

∴

(k∈Z),

-

∴原函数的定义域为(2kπ-

,2kπ)∪(2kπ,2kπ+

)(k∈Z).

-

学案设计

【例5】解:(1)y=

=tan(2x+),

∴周期T=.

(2)y=-2sin xcos x=-sin2x,故周期T=π.

(3)y=

=tan(4x+

),故周期

-

T=

.

【例6】解:(1)f(x)=

sin(2x-

)+1-cos2(x- ) =2[

sin2(x- )-

cos2(x- )]+1 =2sin[2(x- )-

]+1 =2sin(2x-)+1, ∴T=

=π.

(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-

)=1,有2x-

=2kπ+

.

即x=kπ+(k∈Z).

故所求x的集合为{x|x∈R,x=kπ+ ,k∈Z}.

【例7】解:(1)∵f(x)的定义域为x≠kπ+(k∈Z),故其定义域关于原点对称, 又f(-x)=sin(-2x)-tan(-x)=-sin2x+tan x=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

(2)∵x=

时,1+sin x+cos x=2,而x=-

时,1+sin x+cos x=0, ∴f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数.

(3)∵f(x)的定义域为R,又f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(sin x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.

(4)由lgcos x≥0得cos x≥1,又cos x≤1,∴cos x=1,故此函数的定义域为x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0.

∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

【例8】解:(1)由sin x-cos x>0⇒

sin(x-)>0, ∴2kπ

<2kπ+π(k∈Z).

∴定义域为(2kπ+

,2kπ+

)(k∈Z).

∵

sin(x-

)∈(0,

],∴值域为[-

,+∞).

学案设计 (2)∵定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数.

(3)∵sin x-cos x=

sin(x-)>0, ∴f(x)的递增区间为[2kπ+,2kπ+)(k∈Z), 递减区间为(2kπ+

,2kπ+

](k∈Z).

(4)∵f(x+2π)=lo

[sin(x+2π)-cos(x+2π)]=lo

(sin x-cos x)=f(x),

∴f(x)是周期函数,最小正周期T=2π.

【例9】解:(1)f(x)=

-

+sin2x+=2+sin2x+cos2x=2+

sin(2x+),

∴当2x+

=2kπ+

,即x=kπ+

(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+

.

函数f(x)取得最大值时自变量x的集合为{x|x∈R,x=kπ+(k∈Z)}.

(2)f(x)=2+

sin(2x+

).

由题意得:2kπ-

≤2x+

≤2kπ+

(k∈Z), 即:kπ-

≤x≤kπ+

(k∈Z).

因此函数f(x)的单调增区间为[kπ-

,kπ+

](k∈Z).

三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换

【例10】解:(1)f(x)=2cos2ωx+

sin2ωx=1+cos2ωx+

sin2ωx=2sin(2ωx+)+1.

∵x=是y=f(x)的一条对称轴, ∴sin(∴

)=±1.

=kπ+,k∈Z,∴ω=

k(k∈Z).

∵0<ω<1,∴ω=

.

(2)用五点作图(略) 【例11】解:(1)y=Asin2(ωx+φ)=

cos(2ωx+2φ).∵y=f(x)的最大值为2,A>0.

∴

=2,A=2.

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω>0, ∴

)=2,ω=

.

∴f(x)=

cos(

x+2φ)=1-cos(

x+2φ).

学案设计 ∵y=f(x)过(1,2)点, ∴cos(+2φ)=-1.

∴+2φ=2kπ+π,k∈Z,∴2φ=2kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ+

,k∈Z,又∵0<φ<

,∴φ=

.

(2)∵φ=,∴y=1-cos(x+)=1+sinx.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.

又∵y=f(x)的周期为4,2014=4×503+2, ∴f(1)+f(2)+…+f(2014)=4×503+f(2013)+f(2014)=2012+2+1=2015.

【例12】解:(1)f(x)=cos2ωx+sin2ωx++a=sin(2ωx+)++a.

依题意得2ω·

⇒ω=

.

(2)由(1)知,f(x)=sin(x+)++a.又当x∈[-

]时,

]上的最小值为

=-

+a,故

x+

∈[0,

],故-

≤sin(x+

)≤1,从而f(x)在区间[-

a=

.

四、三角函数的运用

【例13】解:(1)由已知数据,易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10, ∴y=3sint+10.

(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米.

∴3sin

t+10≥11.5,∴sin

t≥

,解得:2kπ+

t≤2kπ+

(k∈Z),12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在同一天内,取k=0或k=1,∴1≤t≤5,或13≤t≤17.

∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时.

【例14】解:(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设摩天轮上某人在Q处,则在t秒内OQ转过的角为 t,所以t秒时,Q点的纵坐标为 t,故在t秒时此人相对于地面的高度为y=10sin t+12(米).

(2)令y=10sin t+12≤10,则sin t≤-

.

∵0≤t≤20,∴10.64≤t≤19.36,故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.

学案设计 【例15】解:如图,连接AP,设∠PAB=θ(0°<θ<90°),延长RP交AB于M,

则AM=90cosθ,MP=90sinθ,PQ=MB=AB-AM=100-90cosθ, PR=MR-MP=100-90sinθ, 故矩形PQCR的面积

S=PQ·PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ) =10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.

设sinθ+cosθ=t(1

),则sinθcosθ=(t2-1), ∴S= 2(t-)+950,

故当t=

时,Smin=950(m2).

当t=

时,Smax=14050-9000

(m2).

【例16】解:按图(1)的裁法:矩形的一边OP在OA上,顶点M在圆弧上,设∠MOA=θ,则

MP=20sinθ,OP=20cosθ,所以矩形OPMN的面积

S=400sinθcosθ=200sin2θ,即当θ=时,Smax=200.

按图(2)的裁法:矩形一边PQ与弦AB平行, 设∠MOQ=α,在△MOQ中, ∠OQM=90°+30°=120°, 由正弦定理得:MQ=

sinα.

又∵MN=2OMsin(60°-α)=40sin(60°-α), ∴S=MQ·MN====

sinαsin(60°-α)

sinα(cosα-sinα)

-

sin2α-)

sin(2α+30°)-.

.

∴当α=30°时,Smax=由于

>200,所以用第二种裁法得到面积最大的矩形,最大面积为cm2.

拓展提升

1.D

解析:由sin2θ=2sinθcosθ=- <0, cos2θ=cos2θ-sin2θ= >0可得角2θ的终边在第四象限.

学案设计

2.C

解析:由sinθ>0,cosθ<0及sin2θ+cos2θ=1可得k=

.

3.A

解析:4.D 5.B

解析:49

·T≤1,即

≤1,∴ω≥.

-

-

=-1.

6.D

解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-(sin x-)2+,当x=-时,f(x)取最小值.

7.D

解析:f(x)=sin(2x+φ)+

cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+

),令φ+

=kπ可得.

8.C

解析:根据0

9.D

解析:由性质(1)和(2)可排除A,C两项,再求出y=sin(2x-

)的增区间即可.

10.D

解析:将函数y=cos x的图象按-a平移可得原图象的函数解析式.

11.B

解析:∵y=sin(2x-

)=cos[

-(2x-

)]=cos(y=cos2x的图象向右平移

个单位长度.

12.C

解析:由图象知,T=4(

)=4π=

, ∴ω=

.又当x=

时,y=1,则sin(

13.cos2x+3 14.φ=kπ(k∈Z)

φ=kπ+

(k∈Z) 15.y=3sin(πx+

) 16.解:原方程sin

x+cos

x=k⇔

sin(x+)=k,在同一坐标系内作函数y1=

sin(x+)与y2=k的图象.对于y=

sin(x+),令x=0,得y=1.

+φ)=1,+φ=2kπ+,k∈Z,当

-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)],∴将函数

k=0时,φ=

.

∴当k∈[1,

)时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解.

17.解:易知:A=2,半周期

=3π,∴T=6π,即

=6π,从而ω=

.

学案设计 设y=2sin(

x+φ),令x=0,有2sinφ=1.

又|φ|<,∴φ=.

故所求函数解析式为y=2sin(

x+

).

18.解:(1)由T=

=2,得ω=π, ∴f(x)=Asinπx+Bcosπx.

由题意可得

解得

∴f(x)=

sinπx+cosπx=2sin(πx+).

(2)令πx+

+kπ,k∈Z,所以x=+k,k∈Z.

由

+k≤

得 ≤k≤ , 故k=5,在[

]上只有

f(x)的一条对称轴x=

.