复习参考题课件配套优秀获奖教案

平面向量的数量积复习题

教学目标：

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

教学内容

1．平面向量数量积的有关概念

→→(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积2．

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. 2(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y1. a·b(3)夹角：cos θ＝|a||b|＝x1x2＋y1y2222. x1＋y1·x2＋y22(4)两非零向量a⊥b的充分必要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 222(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y1·x2＋y2. 3．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) 4.向量数量积的2种运算方法

(1)定义法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ. (2)坐标法：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

教学过程

1．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝23，则|b|＝(

)

A.3

C．4

B．1 D．3 解析：因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝22＋8·|b|·cos 60°＋4|b|2＝(23)2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.故选B. 答案：B 2．已知平面向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝4，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角为(

) A．30°

C．90°

B．60°

D．120°

解析：法一：因为c⊥a，且a·b＝a·(c－a)＝a·c－|a|2＝－4，

3．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．

解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，

∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，

∴m＝－2. 答案：－2 4．(人教A必修4§2.4例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2

考点一

平面向量的数量积的计算

(2)(2017·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝→→→→BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则CP·CB＋CP·CA＝________. 解析：由题意可建立如图所示的坐标系，

→→→→可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CP·CB＋CP·CA＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4. 答案：4 考点二

平面向量数量积的应用

(2)(2017·泰安模拟)已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________．

→→→→→解析：在△ABC中，设AB＝a，AC＝b，则b－a＝AC－AB＝BC，∵a与b－a的1|a|sin C23夹角为120°，∴∠B＝60°，由正弦定理得sin 60°＝sin C，∴|a|＝sin 60°＝3sin 23. C，∵C∈(0°，120°)，∴sin C∈(0,1]，∴|a|∈0，323

答案：0，3命题点2

平面向量的夹角

3．(2017·湖北八校联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是(

) 5A.5

5C．－5

1B．5

1D．－5

解析：由已知得a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，

a·c3×2＋1×－2∴3(3－k)－3＝0，∴k＝2，即c＝(2，－2)，∴cos〈a，c〉＝|a||c|＝10×225＝5. 答案：A →→→→→4．(1)(2017·银川调研)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是(

) A．直角梯形

C．菱形

B．矩形

D．正方形

→→→→→解析：由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(AB－AD)·AC＝0→→得DB·AC＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C. 答案：C (2)(2016·高考山东卷)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．

解析：根据向量垂直的坐标表示求解．

∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．

又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5. 答案：－5

考点三

平面向量与三角函数的综合

5．(2017·烟台模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．

π解析：(1)f(x)＝a·b＝2cosx－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos 2x＋3，

2π令2kπ≤2x＋3≤2kπ＋π(k∈Z)，

ππ解得kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)．

ππ所以f(x)的单调递减区间为kπ－6，kπ＋3(k∈Z)．

π(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋3＝－1，

π2A＋∴cos＝－1. 3ππ7πππ又3<2A＋3<3，∴2A＋3＝π，即A＝3. ∵a＝7，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①

∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，

所以2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②

由①②，可得b＝3，c＝2. 明确考向

平面向量的数量积是高考命题的热点，常涉及数量积的计算及应用数量积解决向量的模、夹角、垂直等问题，常与三角函数、解三角形交汇命题，各种题型均有考查，难度中等

→13→311．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC＝(

) 2222A．30°

C．60°

B．45°

D．120°

解析：利用向量数量积的定义及坐标运算求解．

→1→→→→→3333→31因为BA＝，，BC＝，，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA4422222→3||BC|cos ∠ABC＝1×1×cos ∠ABC，所以cos ∠ABC＝2.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A. 答案：A 2．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(

)

A．－8

C．6

B．－6 D．8 解析：法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．

因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8. 法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8. 答案：D 3．(2015·高考全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(

) A．－1

C．1

B．0 D．2 解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1. 答案：C 4．(2016·高考全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________. 解析：根据向量垂直的性质列方程求解．

2∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－3. 2答案：－3

5．(2013·高考新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，→→则AE·BD＝________. →→1→→→→→→→1→→→解析：因为AE＝AD＋2AB，BD＝AD－AB，所以AE·BD＝(AD＋2AB)·(AD－AB)→1→→1→＝AD2－2AD·AB－2AB2＝2. 答案：2 课堂小结：

1.请学生回顾本节课所学的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有哪些？

2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

3..你在本节中的表现怎么样？你的体会是什么？

作业设计：

π2．(2017·惠州诊断)设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，2. (1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．