2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计案例

3.3 空间向量的坐标表示(选修2-1) 一、教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

二、教学重点：空间向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标运算

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）创设情景

1.平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的

坐标，

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

（二）探析新课

1.空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，

这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示；

（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，

以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条

数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建

立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量

i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标

平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

（3）作空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy135（或45），yOz90；

（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系

2.空间直角坐标系中的坐标：

如图给定空间直角坐标系和向量a，设i,j,k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使aa1ia2ja3k，有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a(a1,a2,a3)．

在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯

一的有序实数组(x,y,z)，使OAxiyjzk，有序实数组

zA(x,y,z)kiOjy(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记

作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

x3.空间向量的直角坐标运算律

（1）若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，

则ab(a1b1,a2b2,a3b3)，

zA(a1,a2,a3)kixOjB(b1,b2,b3)yab(a1b1,a2b2,a3b3)，

a(a1,a2,a3)(R)，

a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)，

（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）、平行：若a≠0时，向量b//a相当于ba，即{bx,by,bz}{ax,ay,az}

也相当于向量的对应坐标成比例即（三）知识运用

1.例1 已知a(1,3,8),b(3,10,4)，求ab,ab,3a

bxbybz

axayaz

解：ab(4,7,4) ab(2,13,12)

3a(3,9,24)

2.已知空间四点A(2,3,1),B(2,5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求证：四边形ABCD是矩形

解：ABOBOA(4,8,2)，DC(2,4,1) AB2DC

所以AB//DC，ABDC，

所以四边形ABCD是矩形。

3.课本P38练习题1.2.3 （三）回顾总结：空间向量的坐标表示及其运算

（四）布置作业：课本习题2-3 A组中4、5、6、7 五、教学反思：