2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计内容推荐

2.3.2 平面向量的正交分解和坐标表示

【学习目标】

1.理解平面向量正交分解的概念；

2.理解平面向量坐标的概念；

3.掌握平面向量的坐标运算.

【重点和难点】

教学重点：平面向量的坐标运算. 教学难点：向量坐标表示的理解及运算的准确性.

一．知识梳理

1.平面向量正交分解

定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示

如图1，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得来源学科1，axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)…………2，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.○与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y).特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).来源学科网ZXXK]

如图2，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

图1

图2 3.平面向量的坐标运算

(1)若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab

(x1x2,y1y2)

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，

ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2). (2) 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OBOA=( x2，y2)  (x1，y1)= (x2 x1，y2 y1) (3) 若a(x,y)和实数，则a(x,y). 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y) 二．问题导学

1.平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

2.对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

3.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? 4.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

三.预习自测

1.若M(3，-2)，N(-5，-1)且，求P点的坐标. 2.若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2= . 3.已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.

四.我的疑问：

一．合作探究

探究1.

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 探究2.

已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.

探究3.

已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

二．课堂训练与检测

1.若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标. 22.若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

. 3.已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，

求证：四边形ABCD是梯形.来源学&科&网

三.课堂小结

1.平面向量的正交分解; 2.平面向量的坐标表示及坐标运算.