探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质ppt课件课堂实录

《§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象》教学设计

培元中学 薛道生

教学目的：

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出ysinx,xR的图象，明确图象的形状；

（2）根据关系cosxsin(x)，作出ycosx,xR的图象；

2（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；

能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；

教学重点：作正弦函数的图象；

教学难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教

具：多媒体电脑、学生用纸

教学过程设计

一、复习准备

为了学习正弦函数、余弦函数图象的画法，首先复习以前所学的相关知识.（幻灯片放映）

1.复习学过的函数. (1)一次函数y=kx+b(k≠0).它的图象为直线，如图1.

(2)二次函数y=ax+bx+c(a≠0).它的图象是抛物线.如图2 2

(4)指数函数y=ax(a＞0且a≠1)，其图象如图3.

(5)对数函数y=logax(a＞0且a≠1),其图象如图4.

2.复习图象变换知识. (1)平移变换

(2)对称变换

3.复习相关的诱导公式

sin(-α)=-sinα, sin(ɑ+2)=cosα, cos(-α)=cosα cos(a+2)=-sinα, sin(α+2π)=sinα, sin(x+π)=-sinx cos(α+2π)cosα cos(x+π)=-cosx 1．

弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2. 正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

2 P(x,y)r

P与原点的距离r(r则比值xyx2y20) 22yy叫做的正弦 记作： sin

rrxx 比值叫做的余弦 记作： cos

rr3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

sinyxMP，cosOM

rr向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

展示华罗庚的名言：数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合无限好，割裂分家万事休。

以上基础知识的复习为下面的教学做好了准备工作.

二、新课导入：

问题1：什么是函数？正弦函数的解析式？余弦函数的解析式？定义域？值域？

特别提问：这里的x表示什么？——用弧度制表示的角

操作：让单位圆在数轴上“滚动”起来——课件展示，使学生对自变量x和因变量y的理解更深刻更直观。

32.521.5-4P010.5-1O-3-2X1C23456-0.5-1涂色-1.5单位圆1单位圆2-2运动点自变量x-2.5

3

问题2：如何画出函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象？

学生：在专用学生用纸上操作描点法作图，分组合作进行，每小组3人，一人列表、一人计算，一人核对。

x sinx

y

O

教师：1.教室内巡视，指点学生自主进行研究，指出错误和不足。

可能存在的问题：（1）学生可能会用度数代替弧度作图；（2）学生可能取点不全；

（3）学生可能画图不够光滑。

2.教师经过巡视发现问题解决问题后，集中讲评其中的问题和解决的方案，计算机课件给出正确做法。并演示用正弦线作图的计算机动态作图法。

x = 0.39弧度yP = 0.9421.5-4P010.5-3-2-1O-0.51Cx23456-1因变量y-1.5平移正弦线生成图象-2恢复

4

3. 指出用正弦线作图的优劣：精准、耗时、手动操作不易。

4. 给出较实用的方法——五点描图法

问题3：我们在作正弦函数y=sinx x∈[0,2 π]的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？

x

sinx

教师：给出五点描图法的作图步骤和注意要点。指导学生动手亲自在学生用纸上作图。

学生：用五点描图法在学生用纸上作正弦函数y=sinx x∈[0,2 π]的图象。

问题4：如何得到函数y=sinx在整个R上的图象？

教师：引导学生思考回忆：联想到诱导公式——sin(α+2π)=sinα

学生：在学生用纸上将图像拓展到整个R上。

教师：“离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生”。

y 1 -4

-3

-2

-

-1 o 

2

3

4

5

6

x

问题5：如何画出函数y=cosx,的图象？

教师：引导学生考虑诱导公式：sin(ɑ+)=cosα和图像平移知识，组织学生在学生用纸上做余弦函数图2像（注意五点法）

学生：在学生用纸上作余弦函数的图像。

5

y 1 -4

-3

-2

-

-1 o 

2

3

4

5

6

x

三、典型例题讲评

例1

画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：

教师：引导学生在学生用纸上填写表格、做出图像。并指出其图像与y=sinx，x[0, 2]的关系

y 2 1 步骤：

1.列表

y=1+sinx，x[0, 2] 2322.描点

22o -1 3.连线

x y=sinx，x[0, 2]

例2

画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：

教师：引导学生在学生用纸上填写表格、做出图像。并指出其图像与y=cosx，x[0, 2]的关系

y 1 y=cosx，x[0, 2] 22o -1 322x y= - cosx，x[0, 2]

四、课堂小结

1. 正弦曲线、余弦曲线的图像画法：（1）几何画法（正余弦线法）（2）五点描图法（3）图像平移法；

2．注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系

尤其是五点法很重要，一定要牢记。

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y 1 y=cosx，x[0, 2] 22o -1 322x y=sinx，x[0, 2]

五、作业

1．P34

第2题

2．画出下列函数的图象

（1）y=-2sinx,

x∈[0,2π] （2）y=cos2x，x∈[0,2π]

并简单说说他们分别与函数y=sinx,

x∈[0,2π]和

y=cosx，x∈[0,2π]有什么关系？

3. 课后思考 （1）你能否利用三角函数的图象或者其他手段研究正弦、余弦函数的性质？如单调性？对称性？奇偶性？。。。。。。

（2）你能根据本节课的思路研究一下正切函数的图象吗？

六、补充材料1——名人传

欧拉 1707年诞生在瑞士名城巴塞尔，13岁就进入巴塞尔大学，17岁时成为这所大学有史以来最年轻的硕士. 他的一生能取得伟大成就的原因在于，惊人的记忆力，聚精会神，从不受喧闹的干扰，镇静自若，孜孜不倦. 令人敬佩的是，他的许多成果竟然是在他右眼失明以至双目失明后产生的，这与音乐大师贝多芬在失去听力后创造出传世之作《命运交响曲》一样，成为人类历史上的奇迹.

七、补充材料2——如何用Excel上画三角函数图像

正弦曲线在计算机上，用Excel软件可方便地绘制正弦曲线，步骤如下: (1)设置角(弧度): 在单元格A1，A2内分别输入20，0，1，选中A1，A2 后拖拽填充柄至单元格1出现6.3为止

. (2)计算正弦值: 在B1输入“=sin(A1)” 双击B10的填充柄得到与第一列相对应的正弦值. 2468-10(3)成图: 光标置于数据区任一位置，按“插入/图表/散点图” 选择“无数据点平滑散点图”，点击-2完成.

系列1

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教学反思

一、本节课的优点：

1.充分利用多媒体技术，将整个正弦函数图像的几何画法动态的展示在电视屏幕上，比传统的在黑板上演示更直观、更生动。

2.充分利用学生合作学习，动手操作，分小组讨论，培养学生的动手能力和合作意识。

3.在课堂教学中穿插名人传记、名人名言、古诗词等材料，注重数学史的渗透和数学化的意识，注重数学思想方法的渗透，增加学生对数学的兴趣。

4.设计的五个问题一环扣一环，用问题驱动来引导、增强学生不断挑战自我，战胜困难的坚强意志。

二、本节课的缺点

1.小组合作学习和学生自我操作大量耗费时间，导致课堂教学进度缓慢，教学时间前松后紧，复习时间过多，教学效率不高。

2.过早引入周期性的概念，可能影响学生后续对周期性的正确理解。

3.补充内容过多，可以将材料二放到下节课进行。

三、教学建议

1.正弦线画法艰深且不易操作，又很耗时间，是不是可以删去，直接用十二点描图法进行，然后简化为五点法。这样的话学生可能更容易接受，且可以节约大量时间。

2.本节课的核心是正弦函数的图像画法。由于教学时间的限制，似乎可以将余弦函数的图像放到下节课在处理，集中精力解决正弦函数的图像问题以及其中涉及的数学思想方法。这样可能会使得整节课重点更突出。

3.对小组合作学习需要更多的研究。我对这个的处理还显稚嫩。

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