2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教案设计

平面向量的正交分解及坐标表示

一、教材分析

本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。

二、学情分析

对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这些知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动，想在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的，只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用，逐步深刻理解并运用它们。

三、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：①能写出给定向量的坐标；②给出坐标能画出表示向量的有向线段；

（2）掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；②i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)；

（3）理解向量与坐标之间是一一对应关系。

2．过程与方法

学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

3．情感态度与价值观

在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

四、教学重点

平面向量的坐标表示。

五、教学难点

对平面向量坐标表示生成过程的理解。

突破方法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理。

六、教学方法

启发式教学法

七、教学过程

（一）创设问题情境

师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示．

师：倾斜角为30o的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解？

【设计意图】引出课题。回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

（二）向量坐标表示的探究

教师提出问题：

1．我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示。对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

2．在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？

生：该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2。也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2。

师：物理学中，G=F1+F2叫做把重力G分解。

由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向量1e1、2e2，使a＝1e1+2e2。

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形。把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。

如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形。

师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？

（三）平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj。

这样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a＝(x,y)叫作向量的坐标表示。

根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i、j以及零向量的坐标表示是怎样的？

生：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。

（四）向量与坐标的对应关系

师：如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由向量a唯一确定。

设OAxi＋yj，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示。

有人说：直角坐标平面内向量a的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？

生：这种说法不正确。只有当向量a的始点是坐标原点时，向量的坐标才是它的终点坐标。

师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量的集合之间有一一对应关系。

（五）例题讲解

例1．如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标。

分析：本例要求用基底i、j表示向量a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合。一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小。把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标。另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标。同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标。另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等。由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标。

解：由图可知，a=AA1+AA2=2i+3j，

∴a=(2，3)。

同理，b=-2i+3 j =(-2，3)；c=-2 i -3 j =(-2，-3)；d=2 i -3 j =(2，-3)。

点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标。

例2.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．→→→【解】

设OA＝a，OB＝b，OC＝c，

→→→又∵|OA|＝|a|＝2，|OB|＝|b|＝3，|OC|＝|c|＝4.

333，C(23，－2)，

∴A(2，2)，B－，22333，c＝(23，－2)

∴a＝(2，2)，b＝－，22

（六）课时小结

1．同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示。

2．通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量。这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式。向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来。

（七）作业布置

1．课本102页习题2．3

A组第1题。

2．预习课本P96～P100，思考下列问题：

（1）已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？

（2）怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？

（3）向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？

（4）例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？

八、板书设计

§2．3．2平面向量的正交分解及坐标表示

知识点回顾

1．向量的正交分解

1．向量的若干概念

2．向量的坐标表示

2．向量的夹角

3．向量与坐标的对应关系

3．平面向量基本定理

小结

九、教学后记

通过这节课的教学，使自己对数学教育的认识上有了提高，课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，这实际上对我们教师提出了更高的要求：“教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者，组织者和合作者”，因此，上课不止是教会学生如何使用结论，更重要是教会学生如何获得结论。