小结教学设计一等奖

平面向量的数量积

最新考纲

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

基础知识，自主学习

1向量的夹角

→→已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则__________叫做向量a与b的夹角.特别的，当a与b夹角为90°时我们说a与b垂直，记作_____.

2数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝_________. 3.数量积的几何意义

（1）记向量a与b的夹角为θ，__________叫做向量a在b方向上的投影，

_____________叫做向量b在a方向上的投影

（2）数量积a·b等于a的长度_______与b在a的方向上的投影__________的乘积. 4.平面向量数量积的性质

设两个非零向量a与b，θ为它们的夹角. (1)当a与b同向时，a·b= ______ , a与b方向时a·b=__________, 特别地，a·a=__________或|a|＝________

(2)a·b＝0⇔_________

(3) cos θ＝__________. (4)|a·b|______|a||b| 5.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝___________交换律). (2)λa·b＝________＝__________ (结合律). (3)(a＋b)·c＝_________ (分配律). 6.平面向量数量积的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1) a·b＝__________

(2) |a|＝a·a＝__________ （3）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=____________,此时为两点的距离公式

(4)两非零向量a⊥b

⇔_____________

- 1 -

(5)设两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，cos θ＝_______________

还原书本，高于书本

教材习题与复习参考题

2014年-2017年新课标高考题

(2015·全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于(

) A.－1 B.0 C.1 D.2 【2014全国2，文4】设向量a,b满足|ab|10，|ab|6，则ab（ ）

A.

1 B. 2 C. 3 D. 5

【2017课标II，文4】设非零向量a，b满足a+b=a-bab则

A.a⊥b B. C. a∥b D.

【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．

a=b

- 2 -

考点一

求平面向量的数量积

→→→→例1.如图所示，△ABC中，∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB＝________.

变式探究：

→→→→1.已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为_______ 2.已知ABC是边长为1的等边三角形，点D,F分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为511A.B.C.884

()D.11

8

- 3 -

考点二

平面向量数量积解决-----向量的夹角、模、垂直问题

例3.已知a、b是单位向量,a·b＝0,若向量c满足|c－a－b|＝1, 则|c|的取值范围是(

) A.[2－1,2＋1]

B.[2－1,2＋2]

C.[1,2＋1]

D.[1,2＋2]

(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________. ∵2a－3b与c的夹角为钝角，

∴(2a－3b)·c<0，

即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3. 又若(2a－3b)∥c，

9则2k－3＝－12，即k＝－. 29当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，

2即2a－3b与c反向. 99综上，k的取值范围为－∞，－∪－，3. 223→31→1【训练2】

(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC＝(

) 2222A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

考点三

平面向量的模及其应用

- 4 -

(2)法一

如图，→DE·→CB＝(→DA＋→AE)·→CB＝→DA·→CB＋→AE·→CB＝→DA2＝1，

→DE·→DC＝(→DA＋→AE)·→DC

＝→DA·→DC＋→AE·→DC

＝→AE·→DC＝|→AE|·|→DC|≤|→DC|2＝1. 法二

以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，

设E(t，0)，t∈[0，1]，

则→DE＝(t，－1)，→CB＝(0，－1)，

所以→DE·→CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为→DC＝(1，0)，

所以→DE·→DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，

故→DE·→DC的最大值为1. 法三

由图知，无论E点在哪个位置，→DE在→CB方向上的投影都是CB＝1，∴→DE·→CB＝|→CB|·1＝1. 当E运动到B点时，→DE在→DC方向上的投影最大即为DC＝1，

- 5 -