二次根式应用优质教案设计

第3讲

多边形及其内角和（11.3）

一、知识点总结

定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

凸多边形

分类1：

凹多边形

正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

分类2：

多边形

非正多边形：

1、n边形的内角和等于180°（n-2）。

多边形的定理

2、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）

只用一种正多边形：3、4、6/。

镶嵌

拼成360度的角

只用一种非正多边形（全等）：3、4。

知识点一：多边形及有关概念

1、

多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（1）多边形的一些要素：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：

①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；

②首尾顺次相连，二者缺一不可;

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间

多边形.

2、多边形的分类:

(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这

条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸

多边形.

凸多边形

凹多边形

图1

(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角

形是边数最少的多边形．

知识点二：正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

1

正三角形

正方形

正五边形

正六边形

正十二边形

要点诠释：

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形

知识点三：多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：

(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有线。

条对角知识点四：多边形的内角和公式

1.公式：边形的内角和为.

2.公式的证明：

证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为

证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 条对角线，并且边形被分成. 个三角形，边形内角和等于这个三角形的个三角形，这个

证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，

即. 要点诠释：

(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。

(2)内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：多边形的外角和公式

1.公式：多边形的外角和等于360°.

2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为，外角和等于

.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。

2

要点诠释：

(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加

1条边，内角和增加180°。

②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。

知识点六：镶嵌的概念和特征

1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。

3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：

(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。

(2)只用一种正多边形镶嵌地面

对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。

事实上，正n边形的每一个内角为，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。

(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面

用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：

又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。

规律方法指导

1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边，内角的和

就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍.

2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.

3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少

没有钝角.

4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节

问题的常用方法.

5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是

研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.

3

二、经典例题透析

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.

举一反三：

【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.

【

【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？

【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为，

.

【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。

类型二：多边形对角线公式的运用

【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（

）.

A．6

B．7

C．8

D．9

【变式2】一个十二边形有几条对角线。

总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。

类型三：可转化为多边形内角和问题

【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.

【变式2】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。

类型四：实际应用题

4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？

思路点拨：根

据多边形的外角和定理解决.

4

举一反三：

【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了__________m.

【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。

【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.

思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540°，又由AB∥CF，CD∥AE，可知∠BAE+∠AEF+∠EFC=360°，从540°中减去80°再减去360°，剩下∠C的度数为100°，所以只需测∠C的度数即可，同理还可直接测∠A的度数.

总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.

类型五：镶嵌问题

5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。

(1)正方形和正八边形；

(2)正三角形和正十二边形；

(3)正三角形、正方形和正六边形。

思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。

解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60°、90°、120°、135°、150°。

(1)因为90＋2×135＝360，所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图(1)所示。

(2)因为60＋2×150＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图(2)所示。

(3)因为60＋2×90＋120＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形，如图(3)

所示。

总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：

【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①

B、②

C、③

D、④

解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故

【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是( )

A、4

B、5

C、6

D、8

【答案】A

（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2，然后用360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）

5

三、综合练习

一、选择题：

1.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形

2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080°

5.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形

6.下列命题：①

多边形的外角和小于内角和,②

三角形的内角和等于外角和,③

多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

7.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加 ( ) A.180° B.90° C. 360° D.540°

8.过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的( ) A.4倍 B.5倍 C.6倍 D.3倍

9.在四边形ABCD中，A、B、C、D的度数之比为2∶3∶4∶3，则D的外角等于( ) A.60° B.75° C.90° D.

10.在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11.如图，AB∥CD∥EF,则下列各式中正确的是 ( ) A.∠1＋∠2＋∠3＝180° B.∠1＋∠2－∠3＝90°

C.∠1－∠2＋∠3＝90° D.∠2＋∠3－∠1＝180°

12.在下列条件中：①ABC②A:B:C1:2:3③A90B

④ABC中，能确定ABC是直角三角形的条件有( ) Ａ.①② Ｂ.③④ Ｃ.①③④ Ｄ.①②③

二、填空题

1.五边形的内角和等于______度. 2.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 3.正十五边形的每一个内角等于_______度. 4.十边形的对角线有_____条. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是 °.

7.一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是 边形. 8.已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC,若∠B=

1∠D，则∠A的外角是 °. 9题图

39.如图在△ABC中，D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，

且∠EDC=50°，则∠A的度数为 . 10.如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A =120°，∠B=80°，

则∠C的度数是

，∠D的度数是

． 10题图

三、计算题

1.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.

6

2.一个多边形的每一个内角都等于144°，求它的边数.

3.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2∶3∶4，那么这三个内角的度数分别是多少？

4.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数.

5.

已知多边形的内角和等于1440°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数.

6.一个多边形的外角和是内角和的

7.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的27，求这个多边形的边数；

23，求这个多边形的边数；

8.一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数.

9.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.

10.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.

11.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长.

7

四、拓展练习

1. 探究：（1）如图①12与BC有什么关系？为什么？

AFBECD（2）把图①ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______BC (填“”“”“”)，当A40时，BC+12=______. （3）如图③，是由图①的ABC沿DE折叠得到的，如果A30，

则xy360（BC+12）360 ＝ , 从而猜想xy与A的关系为 .

图① 图② 图③ 2. 如图1、图2、图3中，点E、D分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且ABE与BCD能互相重合，BD延长线交AE于点F. （1）求图1中，AFB的度数；

（2）图2中，AFB的度数为_______，图3中，AFB的度数为_______；

3．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=________，∠XBC+∠XCB=_______．

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．

8 图1 图2 图3

4．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．

（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，

问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．

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