复习参考题多媒体教学设计及其点评

【高一复习资料】 数学◆必修4◆ 课时

第2课时

上课时间

2019年3月3日

学生姓名

必修4 第二章

平面向量（第1课时）

一、平面向量线性运算

类型1.向量加法的三角形法则(首尾相连)、向量加法的平行四边形法则（共起点）

如图，已知向量a，b，用两种方法作向量a＋b.

1

ABAD________,(ABAD)

________ ABBC2类型2.向量的减法三角形法则（首首相连，尾尾相连，箭头指向被减向量）

如图，已知向量a，b，用两种方法作向量a－b.

ABAC________

例1．化简下列式子：

→→→→→→→→①NQ－PQ－NM－MP

=__________；

②(AB－CD)－(AC－BD) =__________；

→→→→→→→→→→③NQ＋QP＋MN－MP

=__________；

④(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB) =__________. →→→→→→→解

①原式＝NP＋MN－MP＝NP＋PN＝NP－NP＝0. →→→→→→→→→→→→②原式＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝CB－CB＝0. →→→→→→③NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0. →→→→→→→→→→→→→→→④(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB)＝AC＋BA－DC＋DB

→→→→→→→→＝BC－DC＋DB＝BC＋CD＋DB＝BC＋CB＝0. 类型3.平面向量的数乘运算

1. 定义：一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa. 2. 向量

λa与向量a的关系：

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；

当λ＝0时，λa＝0. 1124a－3b＋b－6a－7b=____________；

例2．(1)化简3431373171122255114a－3b＋b－a＋b＝4－a＋－3＋＋b＝a－b＝a－b. 解

原式＝324323432123183

- 1 -

【高一复习资料】 数学◆必修4◆ 例3．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 555答案

－

解析

∵|a|＝|b|，且a与b方向相反，∴a＝－b. 777→→→→→→例4．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为(

) A.2

B.3

C.4

D.5 →→→→→→答案

B

解析

∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心.∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3. →→→→→例5．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示). 1113→131→→→→答案

b－a解析

如图，MN＝MB＋BA＋AN＝－b－a＋AC＝－b－a＋(a＋b) ＝(b－a). 4424244

二、平面向量坐标运算

（1）设ax1,y1，bx2,y2 则ab_______________;ab_______________;a_______________; （2）已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB___________（终点坐标减始点坐标）

2→→1→→→例6．已知A(－1,2)，B(2,8).若AC＝AB，DA＝－AB，则CD的坐标为________. 33答案

(1,2) 2→2→1→1→→→→→解析

AC＝AB＝(3,6)＝(1,2)，DA＝－AB＝－(3,6)＝(－2，－4)，DC＝DA＋AC＝(－1，－2)，∴CD＝(1,2). 3333例7．已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC(4,3)，则向量BC（

）

（A）(7,4)

（B）(7,4)

（C）(1,4)

（D）(1,4) 例8．【2015·江苏高考】已知向量a=(2,1)，b=(1,2), 若manb(9,8)

(m,nR), 则mn的值为______. 例9．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________.(用a，b表示) 13答案

a－b

22例9．已知P1（2，3），P2（1，4），且P1P2PP2，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为

(

) A．（4545，）

B．（，）

C．（4，5）

3333D．（4，5）

→→例10．已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，求点P的坐标. 三、平面向量的基本定理：

如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：

- 2 - 

【高一复习资料】 数学◆必修4◆ a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

例11．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__________.(写出所有满足条件的序号) 答案

①②④

解析

对于③，4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，

∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底. 例12．【2014·福建卷高考】在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(

) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 例13．如图，在△ABC中，D在线段BC上一点，且BDm,DCn，则AD=_______AB+_______AC.

例14．【2015·全国II卷】设D为ABC所在平面内一点,BC3CD，则（ ）

1414ABAC

(B)ADABAC

33334141（C）ADABAC

(D)ADABAC

3333（A）AD12→→→例15．【2013·江苏高考】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC23(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

11→2→1→1→2→1→2→→答案

解析

易知DE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC.所以λ1＋λ2＝. 22323632例16．【2018全国新课标Ⅰ】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（

）

A．31ABAC

44B．133113ABAC

C．ABAC

D．ABAC

444444答案：A 解答：

11131由题可知EBEAABADAB[(ABAC)]ABABAC. 22244四、平面向量的数量积

（1）非零向量a和b的夹角: →→①定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.

- 3 -

【高一复习资料】 数学◆必修4◆ ②范围：

________________. 当θ＝0°时，a与b____；

当θ＝180°时，a与b____；

当θ＝90°时，a⊥b. （2）a·b=_________________（为a与b的夹角）

（3）已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a·b=_________________

（4）a在b方向上的投影为_______;b在a方向上的投影为_______;

（5）数量积的几何意义：

a·b等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积

→→→→例17．在等边三角形ABC中，向量AB与向量BC的夹角为________，E为BC中点，则向量AE与EC的夹角为________. 答案

120°

90°

解析

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长边AB至点D，使AB＝BD，

→→→→∴AB＝BD.∴∠DBC为向量AB与BC的夹角，且∠DBC＝120°. →→又∵E为BC中点，∴AE⊥BC.∴AE与EC的夹角为90°.

方法1.运用公式（2）求数量积

例18．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)（

）

A．4

B．3

C．2

D．0 【答案】B 【解析】因为a2ab2a2ab2a1213，所以选B．

例19．【2014·全国卷】已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则2abb =（ ）

答案．B

A．－1 B．0 C．1 D．2 例20．已知向量a和b，a2,b(3,4)，a与b的夹角等于30，则ab等于(

) A. 5

B. 103

C. 52

D. 53

32例21．【2015·高考山东·理4】已知菱形ABCD的边长为a

，ABC60

,则BDCD（

）

（A）

方法2.运用公式（3）求数量积

例22．【2015·全国Ⅱ卷】已知a1,1,b1,2,则(2ab)a（

）

A.1 B.0 C.1 D.2

uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuv例23．在边长为1的正三角形ABC中，设BC2BD，CA3CE，则ADBE__________．

32333a

（B）a2

（C）

a2

（D）

a2

2442

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【高一复习资料】 数学◆必修4◆ AEB

CDuuuvuuuvuuuv13111B,0，C,0，CEx,y，Ex,yA0,ADBE如图建系：【答案】，下面求坐标：令，∴E22224uuv13CA2,21113xxuuuv132233uuvuuuvE,AD0,，由CA3CE可得：，∴36，∴，233y3y62uuuv53uuuvuuuv1BE,ADBE，．

∴664方法3.运用“基底法”求数量积

例24．【2017年云南省一统】在平行四边形ABCD中，AB8，AD6，N为DC的中点，

BM2MC，则AMNM（ ）

A.48 B.36 C.24 D.12

211121122解法一：设ABa,ADb，则AMNM(ab)(ab)aababb

323233912643632824。

29解法二：（坐标法）

例25．如图，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60o，点M在AB边上，且AMuuuuvuuuv则DMDB（

）

1AB，

3

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【高一复习资料】 数学◆必修4◆ A．1

【答案】B uvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuvuuu【解析】因为AMAB，所以DBABAD，DMAMADABAD，

33uuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuv24uuuvuuuvuuuv2DBBMABADABADABABADAD

则333B．1 C．3

3D．3

314142111．故选B．

332例26．【2018天津文】在如图的平面图形中，已知OM1.ON2,MON120,BM2MA,CN2NA,则BC·OM的值为（

）

（A）15

（B）9

（C）6

（D）0

【答案】C 【解析】如图所示，连结MN，由BM2MA，CN2NA

可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则BC3MN3ONOM，

由题意可知：OM121，OMON12cos1201，

结合数量积的运算法则可得：

BCOM3ONOMOM3ONOM3OM336．故选C．

BE1, 则例27．【2013·天津高考理科】在平行四边形ABCD中, AD = 1, BAD60, E为CD的中点. 若AC·22AB的长为

.

方法4.运用几何意义求数量积

例28．若a=(2,3)，b=(4,7)，则a在b上的投影为________________；

例29．【2013·江西卷】设e1，e2为单位向量.且e1、e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在3b方向上的射影为________.

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【高一复习资料】 数学◆必修4◆ 【答案】5abab.【解析】射影为acosa，而2abb55，b2，所以所求为. 32例30．【2012·北京卷理科】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，ab(e13e2)2e226cos则DECB的值为________，

DEDC的最大值为______. 例31．（2016年天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为（

）

（A）【答案】B 例32．【2013·全国Ⅱ卷】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD________．

5

8

（B）1 8（C）1 4

（D）118

1.下列命题中正确的是(

) →→→→→→→→→→A.OA－OB＝AB

B.AB＋BA＝0

C.0·AB＝0

D.AB＋BC＋CD＝AD

→→→→答案

D解析

起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA－OB＝BA；AB，BA是一对相反向量，→→→它们的和应该为零向量，AB＋BA＝0；0·AB＝0. 2.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(

) A.－13

B.9

C.－9

D.13 →→答案

C 解析

设C点坐标(6，y)，则AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6). 3y＋6∵A，B，C三点共线，∴＝，∴y＝－9. 8－81→→→→→3.已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，AB＝c，则①AD＝－b－a；②BE2111→→→→＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确的等式的个数为(

) 222A.1

B.2

C.3

D.4 1→→→→1→→1→答案

D

解析

①如图，可知AD＝AC＋CD＝AC＋CB＝－CA－BC＝－b－a，故①正确. 2221→→→→1→②BE＝BC＋CE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确. 22111→→→→1→③CF＝CA＋AF＝CA＋AB＝b＋(－a－b)＝－a＋b，故③正确. 22221111→→→→→→→→→→a＋b＋a＋b－a＋b＝0，故④正确. ④AD＋BE＋CF＝－DA＋BE＋CF＝－(DC＋CA)＋BE＋CF＝－2222→→→4.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F.设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为(

)

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【高一复习资料】 数学◆必修4◆

11221121A.2，2

B.3，3

C.3，3

D.3，2

1→→→→→→→→→→→1→→AC－AB＝(1－λ)AB＋λAC.令CF答案

C

解析

设BF＝λBE.由题可知，AF＝AB＋BF＝AB＋λBE＝AB＋λ221→→1→→→→→→→→→AB－AC＝μAB＋(1－μ)AC. ＝μCD，则AF＝AC＋CF＝AC＋μCD＝AC＋μ22121－λ＝μ，λ＝，23→1→1→故可得解得所以AF＝AB＋AC，故选C. 3312λ＝1－μ，μ＝，23



5.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝____________. 答案

2a－b

解析

设c＝xa＋yb，则(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)，由x－2y＝4,2x＋3y＝1，得x＝2，y＝－1，所以c＝2a－b. 6.给出下列四个命题，其中正确的序号是________. →→→→①非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°；②若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等→→腰三角形；③若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1；④若OA＝(3，－4)，OB＝3→(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－. 4答案

①②③

→→→→解析

①中，令OA＝a，OB＝b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，

∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，故①正确.②→→→→→→中，∵(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，∴|AB|2＝|AC|2，故△ABC为等腰三角形.故②正确.

2222③中，∵(2a＋xb)＝4a＋4xa·b＋xb＝4＋4xcos120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故③正确. →→→→→→④中，∵BA＝OA－OB＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC＝OC－OB＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－131→→→→－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴BA·BC＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－.又当BA与BC同向共线时，m＝，4231故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－且m≠.故④不正确. 42

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