复习参考题优秀教学设计

平面向量专题

[研高考·明考点]

年份

卷别

小题考查点

大题考查点

卷Ⅰ

T13·向量的模与向量的数量积

2017

卷Ⅱ

T12·平面向量的数量积

卷Ⅲ

T12·平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系

卷Ⅰ

T13·向量的数量积及其坐标运算

2016

卷Ⅱ

T3·向量的坐标运算、向量垂直的应用

卷Ⅲ

T3·向量的夹角问题

2015

卷Ⅰ

T7·平面向量的线性运算

卷Ⅱ

T13·平面向量共线定理的应用

[析考情·明重点]

小题考情分析

常考点

1.平面向量的线性运算(3年4考) 2.平面向量的数量积及应用(3年5考)

第一讲

小题考法——平面向量

考点(一) 平面向量的线性运算

[典例感悟]

大题考情分析

偶考点

1.平面向量与解三角形、三角函数的综合问题

主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用. [典例]1.（2016高考新课标1）设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m

2.【2015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（ ）

1414（A）ADABAC （B）ADABAC

3333（C）AD4141ABAC （D）ADABAC 3333→→3.(2016·深圳二模)如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM

→＋μBD，则λ＋μ＝(

)．

4515A．

B．

C．

D．2 338

[方法技巧]

解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法

(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答．

(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决．

[类型演练]

1.(2017·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝(

) A．4

B．－5

C．6

D．－6 2.【2008全国卷1（理）3】在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD（

）

21A．bc

33

5221B．cb

C．bc

333312D．bc

333．【2013高考新课标2，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_______．

考点(二) 平面向量的数量积及应用

[典例感悟] [典例]1.

【2016高考新课标3理数】已知向量BA(主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或求参数的值. 1331,),BC(,)，则2222ABC（ ）

(A)30 (B)45 (C)60 (D)120

,2ab102.【2012新课标I版（理）13】已知向量a,b夹角为45

，且a1；则b_____。

3.【2009全国卷2（理）6】已知向量a2,1,ab10,|ab|52，则|b| w. A. 5 B. 10 C.5 D. 25

[方法技巧]

求平面向量求模长问题应注意：熟悉求模长公式，必要时考虑将坐标转化成模长计算。

[类型演练]

1．【2018广东一模改编】已知单位向量e1,e2，且e13e21，则e1,e2的夹角为

。

2. (2017·云南调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝(

) A．13＋62

B．25

C.30

考点(三) 知识点的交汇

平面向量与解三角形、三角函数的综合问题

[典例感悟] [典例]1.

【2017江苏，16】已知向量a(cosx,sinx),b(3,3),x[0,π].

（1）若a∥b,求x的值；（2）记f(x)ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

【答案】（1）x为23. D.34

5π（2）x0时，6取得最大值，为3；x5π时，6取得最小值，(cosx,sinx)，b(3,3)，a∥b，

【解析】解：（1）因为a

所以3cosx3sinx. 若cosx0，则sinx0，与sin2xcos2x1矛盾，故cosx0. 于是tanx3.

35π. 6π). 6又，所以x（2）f(x)ab(cosx,sinx)(3,3)3cosx3sinx23cos(x

因为，所以xππ7π[,]，

666从而1cos(x于是，当xπ3. )62ππ，即x0时，取到最大值3；

66π5π当x，即x时，取到最小值23. 66

[类型演练]

1．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，n＝(sin x，cos x)，，－22ππx∈0，2．求：(1)若m⊥n，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为3，求x的值．

【答案】．(1)tan x＝1．

ππ221(2)∵m与n的夹角为，∴m·n＝|m|·|n|cos ，即sin x－cos x＝，

33222πππ5πππππ1∴sinx－＝．

又∵x∈0，，∴x－∈－，∴x－＝，即x＝．

4444612422

课后练习

1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝(

) 77777777，

B.－，

C.，－

D.－，－

A.339393992．(2017·西安模拟)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|＝(

) A．5

B．4

C．3

D．1 3．(2018届高三·西安八校联考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向―→―→量CD在AB方向上的投影是(

) 3232A.

B．－

C．35

D．－35 224．(2018届高三·广东五校联考)已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为(

) A．－1

B．2

C．1

D．－2 ―→―→―→―→5．(2017·惠州调研)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－

―→2OA)＝0，则△ABC的形状为(

) A．等腰三角形

C．正三角形

B．直角三角形

D．等腰直角三角形

6．【2010全国卷（理）6】△ABC中，点D在AB上，CD平分ACB．若CB= a , CA= b , a1，b2，则CD=（

）

12213443（A）ab （B）ab （C）ab （D）ab33335555

7.△ABC中∠ABC=90°，BC=6，点P在BC上，则PCA．-36

B.-9

C.9

D．36 PA的最小值是（

）

8．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是(

) 13A．0

B.2

C.2

D．1 9．

(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

10.(2015·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．

(1)求A；[来源:Z.xx.k.Com]

(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．

解：(1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0，

由正弦定理，得sin Asin B－3 sin Bcos A＝0，

又sin B≠0，从而tan A＝3. π由于0＜A＜π，所以A＝. 3(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，

π而a＝7，b＝2，A＝，

3得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0. 因为c＞0，所以c＝3. 133故△ABC的面积为bcsin A＝. 227221法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝. πsin B7sin3

27又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝. 7πB＋

故sin C＝sin(A＋B)＝sin3ππ321＝sin Bcos＋cos Bsin＝. 3314133所以△ABC的面积为absin C＝. 22