2.3.1 变量之间的相关关系优质课教案设计

2.3 变量间的相关关系

【教学目标】

（1）认识现实问题中两个有关联变量的数据的相关关系。 （2）利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式，

（3）能够利用公式计算回归方程并对实际问题进行分析和预测。 【教法指导】[ 学 X X ]

本节教学重点

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

教学难点变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想. 本节知识的主要学习方法是 动手与观察，思考与交流，归纳与总结。加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法。

【教学过程】

☆情境引入☆

数学成绩和物理成绩有关系吗？

搜集周围同学的数学和物理成绩，分析其关系如何？

☆探索新知☆

1．回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据之间的关系，你能说说回归直线和散点图中各点之间的关系吗？

2．怎样画出散点图和回归直线？

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【教师释疑】

1．变量之间的相关关系

如果两个变量中一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的相关性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．如果散点图中点的分布是从左下角到右上角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从左上角到右下角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．

2．线性相关

(1)回归直线

如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程与最小二乘法

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2表示点到直线y＝bx＋a的“整体距离”，当Q最小时，a，b的值可由下列公式给出

b(xi1nnix)(yiy),aybx

i(xi1x)2回归直线方程问题

(1)回归直线方程的思想方法

①回归直线

观察散点图的特征，发现各点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，

这条直线叫回归直线．

②显见，根据不同的标准可画出不同的直线

近似地表示这种线性关系，但让人感觉可靠性不强．实际上，我们希望找到一条直线，“从整体上看各点与此直线的距离和最小”，^即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系，记此直线方程为

y＝a＋bx * 这里在y的上方加记号“^ ”，是为了区别实际值y，表示当x取值xi(i＝1,2，…，n)时，^y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是yi＝a＋bxi，*式叫做y对x的回归直线方程．a，b叫做回归系数．要确定回归直线方程，只要确定回归系数a，b.

(2)回归直线方程求解的方法步骤

根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程．

(3)利用回归直线对总体进行估计

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^利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值^为

y0＝bx0＋a.

☆经典题型☆

题型一

相关关系

[ 学]

以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位

万元)和房屋面积x(单位

m2)的数据

房屋面积x/m2

销售价格y/万元

(1)画出数据对应的散点图；

115 24.8 110 21.6

[ ]80 19.4 135 29.2 105 22 (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？

题型二

回归方程

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下

零件数x(个)

加工时间y(分)

10

62

20

68

30

75

40

81

50

89

60

95

70

102

80

108

90

115

100 122 (1)y与x是否具有线性相关关系？

(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．

【解析】

(1)画散点图如下 第

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由上图可知y与x具有线性相关关系．

(2)列表、计算 i xi

yi

xiyi

1

10

62

620

2

20

68

1 360

3

4

40

81

3 240

5

50

89

4 450

6

60

95

5 700

7

70

102

7 140

8

80

108

8 640

9

90

115

10

100 122 30

75

2 250

10 350

12 200

^-^－a＝y－bx＝91．7－0．668×55＝54．96．

^即所求的回归直线方程为

y＝0．668x＋54．96

题型三

利用回归直线方程对总体进行估计

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料

使用年限x 维修费用y 2 2.2 3[ 学X X ]

4 5.5 5 6.5 6 7.0 3.8 若由资料知y对x呈线性相关关系．试求

^(1)线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a，b；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

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☆易错点☆

下表是某地的年降雨量与年平均气温，两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？

年平均气

温/℃

年降雨

量/mm

12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74

[ 学]13.05 748 542 507 813 574 701 432

☆课堂提高☆

1．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位

万元)和年饮食支出y(单位

万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程

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^y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

2．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：x)(yi－－y)＝577.5， (xi－－x)2＝82.5；某刑侦人员在 (xi－－i＝1i＝11010某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm，则估计案发嫌疑人的身高为________ cm. 脚长

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

身高

141

146

154

160

169

176

181

188

197

203

3．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位

吨)，船员的人数5～^32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为y＝9.5＋0.006 2x，

(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数．

(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．

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即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为10人和29人．

4．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位

百万元)之间有如下对应数据

x y 2

30

4

40

5

60

6

50

8 70 (1)画出散点图；

(2)求回归方程；

(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

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