阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质名师教学视频（文字实录）

课题

作课教师

教材分析

《平面向量数量积的物理背景及其含义》

石家庄市第45中学 刘润娟

本课是在学习了向量的线性运算的基础上，更进一步学习向量的另一种运算————向量的数量积。有了向量的数量积之后，向量的基本运算已基本完备。关于与向量有关的一些简单问题就可以解决了。通过平面向量的数量积的研究，能培养学生数形结合的能力以及运用数学工具解决实际问题的能力。在研究数量积这种运算的过程中，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的的情感和态度。通过对数量积这一运算的体验，使学生养成用数学的良好习惯。

学情分析

在这节课之前已经学习了向量的线性运算。很多善于探究的学生会想到向量与向量的积如何运算呢？强烈的求知欲使得学生对这一节的学习不会感到生疏。另外他们在物理中学习了功的概念，，就为学习数量积提供了现实的模型，故在接受概念的时候会比较容易。但对于数量积的性质还需学生们合作交流，积极探究，努力发现。

设计理念

根据诱思探究教学论和新课程改革的目标，要让每个学生都得到充分的发展，改变传统教学过于注重传授知识的倾向，要注重学生能力的培养，要培养学生的自主、合作、探究的能力。让学生自己发现问题,设计问题，并解决问题。探索得成果，研究获得本质。真正实现学生的主题地位，让学生体验到成功的喜悦，以体验为红线，激发学生兴趣，采用观察、分析、合作交流的诱、思、探、究教学方法，利用多媒体课件为辅助手段，调动学生参与课堂的主动性和积极性。

1、

以物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

2、

通过对数量积性质、运算律的探究，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力；

3、

正确熟练地应用平面向量数量积的定义、运算律进行运算；

4、

让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质、运算律的发现到论证过程，进一步感悟数学的本质，培养学生的探索研究的能力。

教学目标

教学重点

教学难点

平面向量的数量积的概念和性质；平面向量数量积的运算律的探究及应用。

平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。

教学过程设计

情景1

问题

回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？

结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F的作用下产

生的位移为S，那么力F所做的功W等于多少？

分析反思

以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。

师生互动

生：WFscos

（其中是F和S的夹角）。

1

师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？

显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念。

情景2

1、定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？

2、如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？

分析反思

使学生从感性到理性去认知数量积的定义。通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义。同时加深对投影的认识。

师生互动

1、仿照物理问题建构“数学模型”。引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量a与b，把数量abcos叫做a与b的数量积（或内积），记作：ab，即ababcos（其中是a与b的夹角）。acos(bcos)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。

2、规定：零向量与任何向量的数量积为0。

3、（1）数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角（0,）的大小；（2）两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；（3）符号ab不能写成ab或ab的形式；（4）找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上。

4、探究其性质：

引导学生观察数量积的运算公式，分析影响数量积符号的量是谁？

结论：数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角，

在此基础上给出不同的几组向量，让学生来判断不同的a与b的夹角的取值，并确定数量积运算结果的符号。总结归纳本题的结论得出数量积的性质：

（1）abab0（a与b都是非零向量）；

（2）当向量a与b共线同向时，abab；当向量a与b共线反向时，abab。特别地aaaa或aaaa（与二次根式性质：aa进行类比）。这是求向量长度的又一重要方法。

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情景3

由学生自主学习来完成书本例题1。及课后P108习题2.4：4

分析反思

通过计算巩固对数量积定义的理解。加深学生对于数量积的记忆

师生互动

分析并完善课本例1，及课后P108习题2.4：4学生的做法

情景4

给学生2~3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结。

分析反思

培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯。把课堂还给学生，体现师生间的合作探究,同步配合学生的学习和探索。

师生互动

学生通过自主阅读、发表自己的看法，老师可以有针对性进行学习方法点拨。

情景5

运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律。

分析反思

通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力。

师生互动

1、回顾实数运算中有关乘法的运算律。类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究。

已知向量a、b、c和实数，则

(1)abba

(2)(a)b(ab)a(b)

(3)(ab)cacbc2、老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系。同时注意利用学生错误这一重要的资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识。

情景6

课本P105例2、例3、的教学。

分析反思

1、要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工；

2、上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化。

3

师生互动

学生自主尝试应用数量积的运算律解决例题，教师分析点评（老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比）；

情景7

小结：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法。

分析反思

让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力。

情景8 布置作业：

必做题：课本P106：练习：1、2、3 选做题：课本P108：习题2.4A组：1、4

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