复习参考题优秀完整教案

《复***面向量—数量积》教学设计

一：教材内容解析

向量是重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和划归思想。

二：教学目标的设置

向量是解决数学问题和实际问题的有力工具。所以，对于向量数量积的复习，希望从定义的梳理展开，结合图形将向量的数量积相关问题的求解法进行归纳总结，并且让学生深刻体会到向量是解决数学问题的重要工具，同时入手完成本节课。

综上所述，制定本节课的教学目标和教学重、难点。

教学目标：

1、

知识与目标：⑴掌握平面向量数量积的概念。

⑵平面向量数量积的运算定律。

⑶向量的模长、夹角、垂直等相关知识。

2、过程与方法：通过体验、归纳、总结求解平面向量数量积的方法，掌握各方法的联系与区别。

3、情感态度价值观：通过平面向量数量积的方法总结及其应用，提高分析问题，解决问题的能力，深刻培养学生的数形结合的重要数学思想。

教学重点：平面向量数量积概念及其知识点的掌握。

教学难点：平面向量数量积作为工具解决问题的思想。

三：学生学情分析

本节课的教学对象是安顺市西秀区旧州中学高三的学生。

1、

知识方面：学生已完成平面向量这一章知识内容的学习，并已能运用平面向量解决一些简单的问题，但是知识点的衔接、方法的选择仍然模糊不清，加之学生本身基础薄弱，因此本节复习课对学生来说尤为重要。

2、

能力方面：本节内容是高一所学，对于现在高三的学生来说，忘记知识也是理所当然，加之学生解题时数形结合能力弱，知识记忆有所缺失。

3、

心理方面：学生面临高考的压力，迫切掌握知识，自觉性强，本节课的教学

设计正好符合高三学生的这个心理特征。

四：教学过程

问题一：在ABC中，a3,b4,c5 求CBBA

C 学生一：

CBBACBBAcos(B)9

学生二：

CBBACB(BCCA)CBBCCBCA9

学生A三：

CB(3,0) BA(3,4)

CBBA9

学生四;

BA在

CB

上的投影 CBBA9[来源:Zxxk.Com]

B是3

通过同学们解题过程来看，可以总结为以上四个同学的解法，我们一起来学***面向量的数量积相关知识。

复习成果展示：

1.

平面向量的数量积

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

abcos叫a做与b的数量积（或内积），记作ababcos .

规定：零向量与任一向量的数量积为

0

两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ab0 ，

2.平面向量数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影

bcos的乘积. 3、

cosabab

4.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则

abx1x2y1y2，由此得到

（1）若a(x,y),则ax2y2或|a2x2y2 .

（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A,B两点间的距离

AB(x2x1)2(y2y1)2

（3）设a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab

有abx1x2y1y20

（4）cosababx1x2y1y2x1y221xy2222

（5）abab（当且仅当a//b时取等号）

5、平面向量数量积的运算律

（1）abba（交换律）

（2）ab(ab)a(b)（结合律）

注：三个向量的结合律不成立，即(ab)ca(bc)

（3）(ab)cacbc （分配律）

问题二：在

ABC

中，M为AC的中点，BM13，AC4

求BCBA？

特殊： BCBA9 一般的： BCBA9

试验 猜想 证明

解：  BCBMMC

BAMAMBBMAM

 BCBA(BMMC)(BMAM)

BMMC9

变式：在 ABC

中，BCBA9，

AC4 ，M为

AC的中点，求BM的长

考点一：平面向量的数量积

例1 （1）（2015.天津卷）在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,AB2

BC1,ABC60o,点E和F分别在线段BC和DC上，且BE222BC

3DF1DC，则AEAF的值为 6？[来源:学,科,网]

（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为 ；DEDC的最大值为 。

解析：（1）方法一：取BA，BC为一组基底，则AEBEBA，AFABBCCFBABC57BABABC

12122BCBA

327AEAF(BCBA)(BABC)

312227252BABABCBC

=121837251229=421

12182318 方法二：作COAB于O，建立如图所示的平面直3角坐标系，则A(,0)

2133B(,0)，C(0,)，D(1,)，所以

2221353E(,)，F(,)

6362532310129所以AEAF(,)(,)

33329218

[来源:学科网]

（2）方法一：如图，DECB(DAAE)CB

DACBAECBDA1

DEDC(DAAE)DCDADCAEDC

=AEDCAEDCDC1

[来源:Zxxk.Com]22

立平面直方法二：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，

C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0),t0,1，则DE(t,1)，

CB(0,1)，所以DECB(t,1)(1,0)t1故

DEDC的最大值为1.

方法三：由图可知，无论E点在哪个位置，DE

DECBCB11

在CB方向上的投影都是CB1，当E点运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大值即为DC1

【训练1】（1）（2016温州适应性测试）在ABC中，若A1200，ABAC1，则BC的最小值是（ ）

2 C、6 D、6

A、2 B、（2）（2015四川卷）设四边形ABCD为平行四边形，AB6，AD4

若M,N满足BM3MC，DN2NC，则AMNM等于（

）

20 B、15 C、9 D、6

A、训练题型学生自主做，教师巡视指导。

考点二：平面向量的夹角与垂直

【例2】（1）（2015重庆卷）已知非零向量AB,BC

满足BC4AB

且AB(2ABBC)，则AB与BC的夹角为（ ）

A、25 B、 C、 D、

3236（2）已知向量AB与AC的夹角为1200，且AB3，AC2，若

APABAC，且APBC，则实数的值为 。

解（1）因为AB(2ABBC)，所以AB(2ABBC)2ABABBC0，即22ABABBCcosAB,BC0，又BC4AB，即上式可化为

2ABAB4ABcosAB,BC0，即24cosAB,BC0，所以

cosAB,BC12，即AB,BC夹角为

2322（2）由APBC，知APBC0，即APBC(ABAC)(ACAB)

=(1)ABACABAC(1)32(7

12221)940

2 解得【训练2】（1）（2016全国文数卷3）已知向量BA=（13，），

22 BC=（31，），则∠ABC= 22 （A）30° （B）45° （ C）60° （D）120°

（2）（2014全国理数2卷）设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab =（ ）

1 B、2 C、3 D、5

A、课堂总结

1、及时向量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用。

2、利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技

巧。

3、向量的两个作用：（1）载体作用，（2）工具作用:利用向量可以解决一些垂直、平行、夹角与距离问题。

教学反思：

学生本节内容的学习基本能掌握，但是公式的应用有点模糊，比如两向量的夹角应该是共起点，本节应注意如下几点：

1、数量积的运算律要准确理解、应用。[来源:Z。xx。k.Com]

2、两个向量的夹角为锐角，则数量积大于零，反之不成立，两个向量夹角为钝角，则数量积小于零，反之不成立。

3、数量积的夹角必须是两个向量共起点。