信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象课堂实录

信息技术应用

利用正切线画函数y=tan x的图象

教学设计

【教学分析】

本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果. 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法. 【教学重难点】

教学重点：用单位圆中的正切线画出正切函数图象。

教学难点：正切函数的图象。 【授课类型】新授课

【课时安排】1课时

【教学过程】

【复习思考】

1、填写下列表格

2、思考：回忆正弦函数与余弦函数的图象与性质的学习过程，想一想如何研究正切函数的图象与性质？

函数

ycosx

ysinx

图象

定义域

值域

最值

周期

奇偶性

单调性

对称性

【探究性质、图象】

问题：单调性

能否利用正切线帮助理解正切函数

ytanx

的单调性？

也可以通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+k222π,+kπ),k∈Z内都是增函数. 2

探究正切函数ytanx的图象

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于且无限接近22时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT22向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(,)内可以取任意实数,但没有最22大值、最小值. 因此,正切函数的值域是实数集R. 根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图3. 2

图2 图3 教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图.学生可看出有三个点很关22键:(,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:44先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=,x=,然后连线，简4422称“三点两线”法.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.

正切函数的性质。

函数

图象

ytanx

【设计感想】

1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受. 2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高.