2.1.2 向量的几何表示教学设计模板

2.1.2平面向量的几何表示

屏山县中学校谢学萍

一、教学内容

（1）平面向量的表示方法

（2）思想方法：数形结合，类比、归纳。

（3）能力素养：几何直观、数学抽象。

2．内容解析：

本课是《平面向量》这一章的起始课，具有核心地位、统领全局的作用。

在此之前，学生已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）。另外，学生在物理学科中已经积累了很多向量模型，并且在三角函数的学习过程中接触到有向线段的概念，为本节课的学习提供了知识准备。

本节将学***面向量的概念、表示及关系。现实生活中的位移、力、速度是其物理背景，向量的概念就是从这些实际背景抽象而成；通常借用有向线段形象直观的表示向量及其运算。

二、教学目标：

1、掌握向量的几何表示，理解平面向量概念，体会数学研究的一般过程。

2．目标解析：

（1）要让学生体会到向量这个概念来自于其它学科，然后又反过来对其他学科起作用，感觉数学工具的价值。

（2）让学生从数形两方面理解向量这个概念的本质，帮助学生从两个要素全面考虑，防止顾此失彼。

（3）让学生理解到一堂概念课，更为重要的不是向量的形式化定义和相关概念，而是能让学生去体会认识和研究数学新对象的方法和基本思路，而且提高抽象问题的能力。

教学重点：本节的重点是向量概念的形成过程。

三、怎样讲

（一）教学准备

1．教学问题：

（1）学习过程中，学生对脱离背景之后理解向量的概念，一时难以适应；

（2）向量的几何表示与平面向量是学生学生的易混点。

A

2．教学支持条件：方格纸，科大讯飞问答系统。

（二）教学过程设计

【问题1】老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，

如果猫由B向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否

抓到老鼠？为什么？

【设计意图】创设情境，建构概念。通过学生熟悉的问题情境引发学生思考。只有大小，没有方向的量，并不能确定具体的位置，从而指出速度是一个既有大小、又有方向的量，凸显向量的两大要素，同时引出向量的概念。

【预设师生活动】

（1）学生：猫的速度虽然比老鼠的速度大，但方向不对，所以无法抓到老鼠。

（2）老师：你能否再举出一些既有大小、又有方向的量？

（3）学生：重力、浮力、弹力、位移……

（4）老师：生活中有没有只有大小、没有方向的量？

（5）学生：年龄、身高、面积、体积等。

（6）老师：回顾学习数的概念，我们从一本书、一支笔、一棵树……中抽象出只有大小的数量“1”。类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小、又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。

板书设计：数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。

老师：把那些只有大小、没有方向的量称为数量．向量在物理学中常称为矢量，数量在物理学中常称为标量。

【问题2】实数在数轴上是如何表示的？向量又如何表示？

【设计意图】类比实数的点的表示方法，寻求向量的几何表示。设计“两个不同重量的小木块的浮力如何表示”的问题，让学生从对比中体会到可以用有向线段的方向和大小分别表示向量的方向和大小。将绝对值符号表示方法类比到向量的模的字母表示上。通过0，1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念。

【预设师生活动】

（1）学生：可以用数轴上的点表示。

（2）老师：实数可以用数轴上的点来表示，并且建立了一一对应的关系。请同学们在数轴上画出表示实数0，1的点，再画出表示实数a的点。

（3）学生在稿纸上画出数轴，并标注点的位置，如图1所示。

图1

（4）老师：实数a是一个数量，数轴上表示它的点A是一个几何图形，这里就是用几何图形表示了实数a，数量可以如此，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平面向量呢？

如图2，有两个木块浮在水面上，一个木块所

受到的重力的大小是10N，另一个木块所受到的重力的

大小为20 N。试在练习纸中画出两个物体所受到的浮

力，练习纸中已经给出了表示10 N的线段长度。

（5）学生：作图，并表示浮力，如图2所示。

（6）老师：表示这两个木块所受浮力大小的线段，

图2 哪个更长？方向又是如何表示的呢？

（7）学生：表示浮力大小为20 N的线段更长．用箭头表示的。

（9）板书设计：画一条线段，标注线段AB，也可记作线段a．以A为起点，B为终点画一个箭头。

老师：一般地，可以按一定比例画出一条线段，它的长短表示向量的大小。用箭头表示向量的方向，这个图形就是一条线段上带了一个箭头。有线段有箭头，如果给这个图形起一个形象点的名字，你会叫它什么呢？

（10）学生：有向线段。

（11）老师：带有方向的线段叫做有向线段。以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，或者用a，b，…表示。这样就用有向线段的长度表示向量的长度，用有向线段的方向表示向量的方向，就可以用有向线段表示向量了。

强调：书上的向量用的是印刷体的黑体字母a表示向量，没有箭头．但是我们书写的字母不是印刷体，在表示向量时，必须打上箭头。

老师提问：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？有向线段与向量的区别和联系？如何理解刚才学习的几个概念？

（12）学生：有向线段是几何图形，向量是有别于标量的量。有向线段有三要素，即起点、长度和方向，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。向量只有大小和

方向两个要素，与起点无关。

（13）老师：向量的大小又该如何用字母来表示呢？如图1，在数轴上点A表示实数a，那点A到原点的距离该如何表示呢？

（14）学生：|a|．

（15）老师：类似地，在AB两边画两条平行、等长的竖线段，来表示向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|．

现在我们已经建立起了一个向量的集合，就像实数可以构成实数集一样。在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？如图1，在实数轴上有两个特殊的实数，请问是哪两个？

（16）学生：0，1．

【问题4】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？

【设计意图】课堂小结。由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新概念的基本思路。

【预设师生活动】

（1）学生总结后得到图7．

图7 （2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来。

研究向量需要将代数形式和几何形式相结合．对实数的研究经验告诉我们，引进一个新的数，就要研究它的运算及运算律。可以预见，引进向量就要研究向量的运算及其相应的运算律或运算法则．所以对于向量，还有很多内容等待我们去研究。

四、讲怎样

1.课中检测

通过1个例题及1个练习检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈。

2.课后检测

请完成课后练习，检测学习效果。