2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案和学案内容

教学设计

课

题

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标运算

1、了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示；

教

学

目

的

2、区分向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系；

3、掌握平面两个向量的坐标运算。

1、

重点：平面内两个向量的坐标运算；

重

点、难

点

2、

难点：区分向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系。

教学模式、程序

创设情境——新课讲授——习题巩固—作业布置

教学辅助手段

多媒体课件、投影

教

学

内

容

、

过

程

，

板

书

设

计

教

一．创设情境

如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，也就是说重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即GF1F2,称GF1F2叫做重力G分解。

类似的，由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a都可以分解为不共线的两个向量使a1a12a2，而在不共线的两个向量中，垂直是一中非常重要的情形，1a1和2a2，这就是这节课要来学习的内容。

二．新课讲解

1.概念的形成

正交分解：

定义：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把这个向量正交分解

举例：如刚才所提到的重力分解.

思考：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标是互相垂直的，每一个点都可以用一对有序实数对（即它的坐标）表示出来，若将向量放在直角坐标平面内，又该如何表示呢？

2.向量的坐标表示

j作为基底，则对于平面内任何一个分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x、y，使得

axijy

这样，平面内任意向量a都可以由x、y唯一确定，将实数对(x,y)称为向量a的坐标，记作

a(x,y)

学

内

容

、

过

程

，

板

书

设

计

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x,y)叫做向量的坐标表示。

注意：（1）每一个向量的坐标都是唯一的；

（2）i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

（3）区分点的坐标和向量的坐标表示法，如点A(1,1),向量a(1,1)

（4）两个向量相等，等价于实数对(x,y)一样；

j表示向量a,b,c,d，

例题1

如图：分别用基底i、并求出他们的坐标。

3.

向量的运算：

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则

（1）加法：ab(x1x2,y1y2)；

（2）减法：ab(x1x2,y1y2)；

（3）数乘：a(x1,y2)；

（4）ab(x1x2,y1y2)

例题2 如图，已知A(x1,y1),B(x1,y2)，求AB.

结论：AB的坐标等于B点的坐标减去A点的坐标。

例题3

已知a(2,1),b(3,4)，求ab，ab，3a4b的坐标

【课堂练习】：《教材》P100 练习1，2

例题4

已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(2,1)，(1,3)，

(3,4)，试求顶点D的坐标。

步骤：（1）作图；（2）设点D(x,y)的坐标；（3）找向量等式；（4）向量坐标化。

4.

提高训练

已知点O0,0,A1,2,B4,5及OPOAtAB，求：

（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

课

外《教材》P101

A组3，4 作业

自我评价

为了提高学习效率，增大课容量，本节课2.3.2结合2.3.3一起讲解，学习了向量坐标的基本表示，趁热打铁，在再原有的认知结构上引导出向量的坐标运算，通过例题来加深对坐标运算公式的理解以及记忆，例题4利用数形结合的思想来加以解题，使得问题的求解更得以清晰明了，易于学生理解。但不足之处是让学生独立思考的时间不够，大多在于被动的学习，在以后的教学中应提高教学效率，留以更多的时间让学生独立思考，独立完成，共同来解决问题。