复习参考题ppt课件课堂实录

三角恒等变换

知识结构

专题一

三角函数式的化简

1．三角函数式化简的基本原则：

(1)“切”化“弦”．

(2)异名化同名

(3)异角化同角．

(4)高次降幂．

(5)分式通分．

(6)无理化有理．

(7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．

2．三角函数式化简的基本技巧．

(1)sinα，cosα→凑倍角公式．

(2)1±cosα→升幂公式．

παα(3)1±sinα化为1±cos(2±α)，再升幂或化为(sin2±cos2)2. b(4)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2·sin(α＋φ)，其中tanφ＝a或asinαa＋bcosα＝a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝b.

[特别提醒]

化简的基本思想方法是统一角、统一三角各个名称．

例1、化简：1＋3tanθ3＋5tanθ－

2cos2θ＋sin2θ－1cos2θ－4sin2θ－41＋3tanθ[解析]

原式＝＋

cos2θ－3sin2θ＋2sinθcosθ3＋5tanθ

3cos2θ＋5sin2θ＋8sinθcosθcosθ＋3sinθcosθ＋cosθ＋sinθ－＋－3cosθ＋5sinθcosθ＋＋

＝＋

＝cosθ－sinθ－2cosθ2＝cosθ·cos2θ＝cos2θ. 专题二

三角函数的求值

三角函数的求值有三种类型：

(1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求得角．

11例2、已知tanα＝43，cos(α＋β)＝－14，α、β均为锐角，求cosβ的值．

[分析]

利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．

[解析]

∵α、

β均为锐角，∴0<α＋β<π.

11又cos(α＋β)＝－14

1153∴sin(α＋β)＝1－－14＝14. 又tanα＝43 ∴sin2α＝sin2αtan2α48＝＝49. sin2α＋cos2α1＋tan2α

431∴sinα＝7，从而cosα＝1－sin2α＝7，

故cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

11153431＝(－14)×7＋14×7＝2. 专题三

三角恒等式的证明

1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明．

(1)不附加条件的恒等式证明．

就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．

(2)条件恒等式的证明．

这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．

2．证明三角恒等式常用的方法．

(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”．

(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子．

(3)把要证的等式进行等价变形．

(4)作差法，证明其差为0. 1例3、求证：tan2x＋tan2x＝＋1－cos4x. [分析]

本题目中角有x、4x，函数名称有切、有弦．证明可从左到右，或从右到左，统一角，统一函数名称．

sin2xcos2xsin4x＋cos4x[证明]

左边＝cos2x＋sin2x＝sin2xcos2x

＋－2sin2xcos2x＝

14sin22x111－2sin22x1－2sin22x＝1＝1

－4sin22x8

8－4sin22x4＋4cos22x＝＝

1－cos4x1－cos4x4＋＝＋1－cos4x

＝＋1－cos4x＝右边．

原式得证． 专题四

三角恒等变换

三角恒等变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也α要学会逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与2之间的关系出发思考，通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系．对于和积互化公式，应抓住公式特点进行变形，辅助角公式则是应用较为广泛的公式，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时，常使用此公式变换．

例4、设f(x)＝6cos2x－3sin2x. (1)求f(x)的最大值及最小正周期；

4(2)若锐角α满足f(α)＝3－23，求tan5α的值．

[分析]

将f(x)化成一角一函数的形式，再用y＝Asin(ωx＋φ)的性质作出解答．

1＋cos2x[解析]

(1)f(x)＝6·2－3sin2x ＝3cos2x－3sin2x＋3 31＝23(2cos2x－2sin2x)＋3 π＝23cos(2x＋6)＋3，

故f(x)的最大值为23＋3；

2π最小正周期T＝2＝π.

π(2)由f(α)＝3－23，得23cos(2α＋6)＋3＝3－23，

π故cos(2α＋6)＝－1.

ππππ又由0<α<2，得6<2α＋6<π＋6，

π5故2α＋6＝π，解得α＝12π.

4π从而tan5α＝tan3＝3. 专题五

数学思想(转化与化归思想) 本章的主要内容是三角恒等变换，因此等价转化思想在本章得以充分体现．在进行三角函数的化简、求值、证明时，常常需要进行转化、包括式子的结构形式的转化、式子中角的转化以及不同三角函数之间的转化．

sin2x＋2sin2xπ3177例5、若cos(4＋x)＝5，12π

1－tanxππππ[分析]

注意x＝(4＋x)－4，及2x＝2(4＋x)－2的两变换，就有以下的解法．

1775π[解析]

∵12π

π3π4又∵cos(4＋x)＝5，∴sin(4＋x)＝－5，

ππ∴cosx＝cos[(4＋x)－4] ππππ＝cos(4＋x)cos4＋sin(4＋x)sin4

2＝－10，

∴原式＝2sinxcosx＋2sin2x

1－tanx2－101－7＋72－10＝72－10

28＝－. 75