2.1.2 向量的几何表示教学内容分析

向量数乘运算及其几何意义

向量的数乘运算

[提出问题]

问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？

提示：按三角形法则，|a＋a|＝2|a|. 问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？

提示：可以．

问题3：3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？

提示：3a与a方向相同．－3a与a方向相反．

[导入新知]

1．向量数乘运算

一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)λa(a≠0)的方向

当λ＞0时，与a方向相同，

当λ＜0时，与a方向相反.

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. 2．向量数乘的运算律

设λ，μ为实数，则

(1)λ(μ a)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，

λ(a－b)＝λa－λb. [化解疑难]

从两个角度看数乘向量

(1)代数角度：

λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0. (2)几何角度：

对于向量的长度而言，

①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍；

②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍. 共线向量定理

[提出问题]

问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？

提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．

问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？

提示：相同或相反．

问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？

提示：共线．

[导入新知]

1．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 2．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. [化解疑难]

共线向量定理中规定a≠0的原因

(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；

(2)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa；

(3)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.

向量的线性运算

[例1]

化简下列各式：

1a＋b；

(1)3(6a＋b)－931a＋1b－21a＋3b；

(2)3a＋2b－2282(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [解]

(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

313332a＋b－a－b＝a＋b－a－b＝0. (2)原式＝22444(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. [类题通法]

向量线性运算的方法

向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．

[活学活用]

化简下列各式：

(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；

1(2)[22a＋8b－44a－2b]. 6答案：(1)14a－9b

(2)－2a＋4b

在几何图形中用已知向量表示未知向量

[例2]

如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BC＝a，BD＝b，试用a，b分别表示DE，CE，MN.

1[解]

由三角形中位线定理，知DE綊BC，

211故DE＝BC，即DE＝a，

22CE＝CB＋BD＋DE＝－a＋b＋2a＝－2a＋b，

MN＝MD＋DB＋BN＝2ED＋DB＋2BC

111＝－a－b＋a＝a－b. 424[类题通法]

用已知向量表示未知向量的方法

用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．

[活学活用]

1．(福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在1111

平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD

等于

(

)

A．OM

C．3OM

答案：D 2．如图所示，四边形OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形．又BM11＝BC，CN＝CD，试用a，b表示OM，ON，MN. 33

B．2OM

D．4OM

15211答案：OM＝a＋b；ON＝(a＋b)；MN＝a－b

66326共线向量定理的应用

[例3]

(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．

(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP＝x

OA＋y

OB，求x＋y的值．

[解]

(1)证明：∵CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，

∴BD＝CD－CB＝e1－4e2. 又∵AB＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，

∴AB＝2BD，∴AB∥BD. ∵AB与BD有交点B，

∴A，B，D三点共线．

(2)∵A，B，P三点共线，∴向量AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使AP＝λAB，即OP－OA＝λ(OB－OA)，∴OP＝(1－λ)OA＋λOB，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1. [类题通法]

用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路

(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．

(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC，则AB，AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．

[活学活用]

1．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，则实数k的值为________．

答案：－2 2．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．

证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，

∴AB＝AM＋AC，∴AM＝AB－AC＝CB. 同理可证明AN＝AC－AB＝BC. ∴AM＝－AN. ∴AM，AN共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．

4.向量线性运算的应用

[典例]

(12分)已知▱ABCD中，AD＝a，AB＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．

(1)用a，b表示向量MC，NC；

(2)求证：M，N，C三点共线．

[解题流程]

[规范解答]

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

[名师批注]

平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表∴BC＝AD＝a.(1分)

示两相等向量，这在线性运算中经常用到. 11∵M为AB的中点，∴MB＝AB＝b，(2

22

分) 1∴MC＝MB＋BC＝b＋a.(4分) 21∵N为BD上靠近B的三等分点，∴NB＝3先将MC用平行四边形中的有关有向线段表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的通法．要注意向量的始点和终点，此点也极易出错.

将向量NB转化为1是解决3AB－ADDB，(6分) 11∴NC＝NB＋BC＝DB＋BC＝33(AB－AD)＋BC

121＝(b－a)＋a＝a＋b.(8分) 3332(2)证明：由(1)知NC＝MC，(10分) 3又NC与MC有公共点C，

∴M，N，C三点共线．(12分)

()此题的难点，很多同学因不会转化而无法解题.

在证出NC∥MC后，只有再说明NC与MC有公共点C，才能说明M，N，C三点共线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分．

[活学活用]

如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b. (1)用a，b表示向量OC，DC；

(2)若OE＝λOA，求λ的值．

54答案：(1)OC＝2a－b；DC＝2a－b

(2)

35

[随堂即时演练]

1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(

) A．a与λa的方向相同

B．a与－λa的方向相反

C．a与λ2a的方向相同

D．|λa|＝λ|a| 答案：C 112a＋8b－4a－2b等于(

) 2.32A．2a－b

C．b－a

答案：B 3．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．

①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

21③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；

510④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 答案：①②③

4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．

答案：－1或3 5.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且AK＝e1，AL＝e2，试用e1，e2表示BC，CD. 4242答案：BC＝e2－e1；CD＝－e1＋e2

3333[课时达标检测]

一、选择题

1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(

) A．－a

C．－c

答案：A 2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(

) ①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；

②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；

③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；

④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.

B．－b

D．以上都不对

B．2b－a

D．a－b

A．①②

C．②

答案：A

B．①③

D．③④

3.如图，向量OA，OB，OC的终点在同一直线上，且AC＝－3CB，设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则下列等式中成立的是(

) 13A．r＝－p＋q

2231C．r＝p－q

22答案：A 214．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，又AP＝tAB，则t的33值为(

) 12A.

B.

3315C.

D.

23答案：A 5．如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且

B．r＝－p＋2q

D．r＝－q＋2p

DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC

(

) A．反向平行

B．同向平行

C．互相垂直

D．既不平行也不垂直

答案：A 二、填空题

6.如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．

1答案：(b－a) 417．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ3等于________．

2答案：

38．已知两个不共线向量e1，e2，且AB＝e1＋λe2，BC＝3e1＋4e2，CD＝2e1－7e2，

若A，B，D三点共线，则λ的值为________．

3答案：－

5三、解答题

9．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用a，b，c表示BC，MN，DN＋CN. 解：BC＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋c. ∵MN＝MD＋DA＋AN，MN＝MC＋CB＋BN，

∴2MN＝MD＋MC＋DA＋CB＋AN＋BN

＝－AD－BC＝－b－(－a＋b＋c) ＝a－2b－c. 11∴MN＝a－b－c. 22DN＋CN＝DM＋MN＋CM＋MN＝2MN＝a－2b－c.

10．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－3OB，求△AOB与△AOC的面积之比．

解：如图，由平行四边形法则，知OA＋OC＝OD，其中E为AC的中点．

所以OA＋OC＝2OE＝－3OB. 22所以OB＝－OE，|OB|＝|OE|. 33设点A到BD的距离为h，

1|OB―→|·hS△AOB2→|11|OB―则S△AOB＝|OB|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|OE|·h，所以＝＝·＝2S△AOC|OE―→|·h2|OE―→|121×＝. 233

11．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．

(1)求证：A，B，M三点共线；

(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．

解：(1)证明：∵OM＝λOB＋(1－λ)OA，

∴OM＝λOB＋OA－λOA，

OM－OA＝λOB－λOA，

∴AM＝λAB

(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．

又∵AM与AB有公共点A，∴A，B，M三点共线．

(2)(1，＋∞)