2.1.2 向量的几何表示国家获奖教案

“四模三段式”式高一数学导学稿（学生版）

高一（ ）班 第＿＿小组 姓名： 评价：

一、课题

§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑴

学习目标

1.能通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；

2. 能掌握向量的几何表示；能

理解向量的模、零向量与单位向量的概念. 学习过程

一、引入（预习教材P74～P76，找出疑惑之处）

力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有

又有

的量；而有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有

没有

，这类量我们称之为数量.

二、新课导学

新知1：向量的概念

数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（vector）.

数量和向量的异同点有哪些？

试试1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不是向量的有（

）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

思考：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，那么不同的点就表示不同的数量.向量能不能用几何表示出来？如果能，该如何表示呢？

新知2：向量的表示法

⑴我们常用

来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的

，箭头的指向表示向量的

.

如右图，在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.

⑵以A为起点，B为终点的有向线段记作

（注：起点在前，终点在后）.

已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，也称为

，记作

有向线段包含三个要素：

. ⑶有向线段也可用字母如a，b，c，表示. 反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？

⑵为什么三要素中不包含终点？

⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？

新知3：两个特殊的向量

零向量（zero vector）：

的向量；规定零向量的方向可以为

.

单位向量(unit vector)：

的向量.

1

讨论：单位向量是否唯一？

有多少个单位向量？

平行向量：

的非零向量. 若向量a，b平行，记作：a//b. 规定：①零向量与任一向量平行，即对任意向量a，都有0//a. ②零向量的方向不确定，是任意的. 试试2：下列说法中正确的有（

）个

⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；

⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行. A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

※

典型例题

例1 在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：

⑴OA4，点A在点O的正南方向；

⑵OB22，点B在点O北偏西45方向. ⑶OC2，点C在点O南偏西30

练1. 画出有向线段，分别表示一个竖直向上、大小为2N的力和一个水平向左、大小为4N的力.(1cm长表示1N)

例2、

如下图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离.（精确到1m）.

练2. 某同学从点A出发，向东走了500米到达点B，又向北偏东60走300米到达C，然后再向北偏东45走100米到达点D，则该同学走过的路程是多少？并选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.

例3. 在正方体ABCDA'B'C'D'中，与AB平行的向量有哪些？

三、学习总结

1. 向量的相关概念；

2. 向量的两种表示法；

3. 两个特殊的向量，尤其要注意零向量的方向.

2

四、巩固提高

1. 下列各量中不是向量的是（

）.

A．浮力

B．风速

C．位移

D．密度

2. 下列说法正确的是（

）.

A．向量AB与向量BA的长度不等

B．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同

C．零向量没有方向

D．任一向量与零向量平行

3. 某人南行100米，后向东行100米，则这时他位移的方向是（

）.

A．东偏南30

B．南偏东30

C．东偏南45

D．南偏东25

4. 物理中的作用力与反作用力

一对平行向量.（是或不是）

5. 已知腰为5，底边为6的等边ABC，则底边BC上的中线向量AD的模AD为

.

课后作业

1. 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了400m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，

⑴作出向量AB、BC、CD（1cm表示200m）；

⑵求DA的模.

§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑵

学习目标

在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念. 学习过程

一、课前准备（预习教材P76～P77，找出疑惑之处）

复习1：向量是

的量；

数量是

的量；

有向线段是

的线段，它的三要素是

，

，

；

零向量是

的向量；单位向量是

的向量；

平行向量是

的非零向量. 复习2：下列说法中正确的有

①向量可以比较大小；

②零向量与任一向量平行；

③共线向量是在同一条直线上的向量

④非零向量a的单位向量是aa. 二、新课导学

新知4：相等向量

的向量叫做相等向量（equal vector），

如右图，用有向线段表示的向量a与b相等，记作：ab. 思考任意两个相等的非零向量，是否可用同一条有向线段来表示？与有向线段的起点有关吗？

新知5：平行向量和共线向量

叫做平行向量. 如果a、b、c是平行向量，则可记为a//b//c. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量

3

试试：下列说法中正确的是

①若a//b，则ab；②若ab，则ab；③若ab，则a//b；④若ab，则ab. 例1 、如下图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OD，OE，OF相等的向量.

变式：与AB相等的向量有哪些？

A

例2如下图所示，D、E、F分别是正ABC的各边中点，则在以A、D F B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE平行的向量. 与DE相等的向量有哪些？

注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性. 练1. 在四边形ABCD中，ABDC，则相等的向量是(

) . A.AD与CB

C.AC与BD

B.OB与OD

D.AO与OC

B D O B A E

C C

三、学习小结

①相等向量的概念；

②平行向量也称为共线向量. 四、巩固提高

1. 下列命题中，正确的是（

）.

A.abab

B.abab

C. a//bab

D.a0a0

2. 若ABAD，且BACD，则四边形ABCD的形状为（

）.

A.平行四边形

B.菱形

C.矩形

D.等腰梯形

3. 一木块放在桌面上，木块所受重力为G，桌面所受压力为G1，则G与G1之间的关系为（

）.

A.大小不等，方向相同

B.大小相等，方向不同

C.大小相等，方向相同

D.大小不等，方向不同

4. 下列命题中，说法正确的有

①若ab，bc，则ac；②若a//b，b//c，则a//c；③若ab，则ab或ab；④若ABDC，则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点. 

课后作业

1. 四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

⑴与向量ED相等的向量有哪些？

A B E D C 4

⑵若AB3，则向量EC的模等于多少？

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