复习参考题教案3

1．关于抽样方法

(1)用随机数法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．

N(2)用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝；如果总体容nK量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝(其中K＝Nn－多余个体数)．

(3)三种抽样方法的异同点

类别

简单随机抽样

抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同

分层抽样

共同点

各自特点

从总体中逐个抽取

将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取

将总体分成几层，按各层个体数之比抽取

相互联系

在起始部分抽样时，采用简单随机抽样

各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

适用范围

总体中的个体数较少

总体中的个体数较多

总体由差异明显的几部分组成

系统抽样

2.关于用样本估计总体

(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．

(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便于记录和表示．

(3)平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据的波动程度．

3．变量间的相关关系

(1)除了函数关系这种确定性的关系外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系，对于一元线性相关关系，通过建立回归方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图，写出回归方程．

(2)求回归方程的步骤：

①先把数据制成表，从表中计算出x，y；

^^②计算回归系数a，b. ^^^③写出回归方程y＝bx＋a.

题型一

抽样方法的运用

1．抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．

2．三种抽样方法比较

例1

(1)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(

) A．6B．8C．10D．12 (2)问题：①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会．方法：(1)简单随机抽样；(2)系统抽样；(3)分层抽样．则问题与方法配对正确的是(

)

A．①(1)，②(2)

C．①(2)，②(3)

答案

(1)B

(2)D B．①(3)，②(2) D．①(3)，②(1) 解析

(1)分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本．设从高二年级抽取的学生数为n，

306则＝，得n＝8. 40n(2)问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．故匹配正确的是D. 跟踪训练1

某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(

) A．11B．12C．13D．14 答案

B 840解析

抽样间隔为＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20])．在[481,720]之间抽42取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*. 11x0x0，1，所以k＝24,25,26，…，35，

所以24≤k＋≤36.因为∈20202020所以k的值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12. 题型二

用样本的频率分布估计总体分布

此类问题通常要对样本数据进行列表、作图处理．这类问题采取的图表主要有：条形图、直方图、茎叶图、频率分布折线图、扇形图等．它们的主要优点是直观，能够清楚表示总体的分布走势．除茎叶图外，其他几种图表法的缺点是原始数据信息有丢失．

例2

如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为(

)

A．20B．30C．40D．50 答案

C 解析

前3组的频率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×210＝0.25，设样本容量为n，则＝0.25，则n＝40.故选C. n1＋2＋3

跟踪训练2

某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．

解

(1)如题图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为：(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85. ∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，

∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3. (2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为：

(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)．

即该市居民该月的人均水费估计为10.5元．

题型三

用样本的数字特征估计总体的数字特征

为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，中位数为处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中位数为中间两个数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用x表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式是

s＝差．

例3

(1)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(单位：分)(

) 1[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].有时也用标准差的平方(s2－方差)来代替标准n

A．91.5和91.5 C．91和91.5 B．91.5和92 D．92和92 (2)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(

) 分数

人数

2108A.3B.C．3D.

55答案

(1)A

(2)B 1解析

(1)将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96(单位：分)．故平均数x＝891＋92×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5(分)，中位数为＝91.5(分)．故选A. 2100＋40＋90＋60＋10(2)∵x＝＝3，

1001∴s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] n＝＝1(20×22＋10×12＋30×12＋10×22) 1001608210＝⇒s＝. 100555

20

4

10

3

30

2

30

1 10 跟踪训练3

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图．

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．

解

(1)设甲校高三年级学生总人数为n. 30由题意，知＝0.05，解得n＝600. n样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学55成绩的及格率为1－＝. 306

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x′1，x′2. 根据样本茎叶图知，30(x′1－x′2)＝30x′1－30x′2

＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92＝15. 因此x′1－x′2＝0.5，所以x1－x2的估计值为0.5分．

题型四

变量间的相关关系

1．分析两个变量间的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫做散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归方程．

2．回归方程的应用

利用回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结果不是准确值，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结果的正确率是最大的，所以可以大胆地利用回归方程进行预测．

例4

某地连续十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

需求量(万吨)

^^^2006

236

2008

246

2010

257

2012

276

2014 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程y＝bx＋a；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．

解

(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归方程．为此对数据预处理如下：

年份－2010

需求量－257

－4

－21

－2

－11

0

0

2

19

4 29 对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，

－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29b＝

－42＋－22＋22＋42^^260＝＝6.5，a＝y－bx＝3.2. 40^由上述计算结果，知所求回归方程为

^^^y－257＝b

(x－2 010)＋a＝6.5(x－2 010)＋3.2. ^即y＝6.5(x－2 010)＋260.2.①

(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为

6．5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈299(万吨)．

跟踪训练4

理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：

年份202x(年)

人口数y(十万)

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)指出x与y是否线性相关；

^^0

5

1

7

2

8

3

11

4 19 (3)若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y＝bx^＋a；

(4)据此估计2025年该城市人口总数．

(参数数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30) 解

(1)数据的散点图如图：

(2)由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关．

11(3)由表知x＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，y＝×(5＋7＋8＋11＋19)＝10. 55^∴b＝3.2，

^^a＝y－bx＝3.6，

^∴回归方程为y＝3.2x＋3.6. ^(4)当x＝5时，y＝19.6(十万)＝196万．

故2025年该城市人口总数约为196万．

题型五

数形结合思想

名称

数

数据分组及频数：

频率分布直方图

[40,50)，2；

[50,60)，3；

[60,70)，10；

形

结合

①可求众数：最高矩形的中点所对应的横坐标；

②可求中位数：中位数左边和

右边的直方图面积相等；

[70,80)，15；

[80,90)，12；

[90,100]，8

③可求平均数：每个矩形的面积乘以矩形底边中点的横坐标之和；

④可求落在各个区域内的频率

可精确地反映一个总体在各总体密度曲线

同上

个区域内取值的百分比，如分数落在(a，b)内的百分比是左

图中阴影部分的面积

甲的数据：

95,81,75,89,71,65,7茎叶图

6,88,94；

乙的数据：

83,86,93,99,88,103,98,114,98

①茎是十位和百位数字，叶是个位数字；

②可以帮助分析样本数据的大致频率分布；

③可用来求数据的一些数字特征，如中位数、众数等

可以判断两个变量之间有无

相关关系

散点图

n个数据点(xi，yi)

例5

甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如下图所示．

(1)填写下表：

甲

乙

平均数

7

方差

1.2

5.4

中位数

命中9环及以上

1 3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：

①从平均数和方差结合分析偏离程度；

②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；

③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；

④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．

1解

(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋107＋810)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；甲的射2靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：

甲

乙

平均数

7

7

方差

1.2

5.4

中位数

7

7.5

命中9环及以上

1 3 2(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s2甲

②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．

③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．

④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．

跟踪训练5

甲、乙两名同学在五次数学测试中的成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用X甲，X乙表示，则下列结论正确的是(

)

A．X甲>X乙，甲比乙成绩稳定

B．X甲>X乙，乙比甲成绩稳定

C．X甲

D．X甲

答案

A 11解析

由茎叶图知，X甲＝×(68＋69＋70＋71＋72)＝70，X乙＝×(63＋68＋69＋69＋71)＝5568，∴X甲>X乙，且甲比乙成绩稳定．

1.对于频率分布直方图，要记住以下几点：(1)每个小矩形面积＝这组的频率；(2)所有小矩形频率面积的和为1；(3)纵轴表示的数为. 组距2．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，通过散点图，可以做出判断．