本章小结第二课时教学设计

万有引力应用与航天

考纲要求

1.万有引力定律及其应用Ⅱ

2．环绕速度Ⅱ

3．卫星的变轨问题Ⅱ

2016·全国卷Ⅰ，17

考情分析

命题趋势

本节知识点在高考中主要以选择题题型考查．要深刻理解天体问题的两个基本思路，熟练掌握卫星各参量与半径的关系，会求解天体质量和密度

1．开普勒三定律的内容、公式

定律

开普勒第一定律(轨道定律)

开普勒第二定律(面积定律)

开普勒第三定律(周期定律)

内容

所有行星绕太阳运动的轨道都是__椭圆__，太阳处在__椭圆__的一个焦点上

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的__面积__相等

所有行星的轨道的半长轴的__三次方__跟它的公转周期的__二次方__的比值都相等

a3＝k，k是一个与T2行星无关的常量

图示或公式

2.万有引力定律

(1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与__两物体的质量的乘积__成正比，与__两物体间的距离的二次方__成反比．

m1m2－(2)公式：F＝__G2__，其中G为万有引力常量，G＝6.67×1011 N·m2/kg2，其值由r卡文迪许通过扭秤实验测得．

(3)使用条件：适用于两个__质点__或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离．

3．宇宙速度

(1)第一宇宙速度

①第一宇宙速度又叫__环绕__速度，其数值为__7.9__km/s. ②第一宇宙速度是人造卫星在__地面__附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

③第一宇宙速度是人造卫星的最小__发射__速度，也是人造卫星的最大__环绕__速度．

④第一宇宙速度的计算方法．

vMm由G2＝m得v＝__RR2GM__；

Rv2由mg＝m得v＝__gR__. R(2)第二宇宙速度

使物体挣脱__地球__引力束缚的最小发射速度，其数值为__11.2__km/s. (3)第三宇宙速度

使物体挣脱__太阳__引力束缚的最小发射速度，其数值为__16.7__km/s.

1．判断正误

(1)只有天体之间才存在万有引力．(

×

) Gm1m2(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝2来计算物体间r的万有引力．(

×

) (3)牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量．(

×

) (4)不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的．(

√

) (5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．(

√

) (6)发射探月卫星发射速度必须大于第二宇宙速度．(

×

) 2．在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程．关于物理学史，下列说法正确的是(

C

) A．经过长期的天文观测，天文学家第谷总结出行星运动三定律

B．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

C．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许用扭秤实验测出了万有引力常量的数值

D．开普勒经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点

解析

开普勒在第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出行星按照这些规律运动的原因，选项A、B均错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许用扭秤实验测出了万有引力常量的数值，从而使万有引力定律有了真正的实用价值，选项C正确；哥白尼提出了“日心说”的观点，开普勒发现了行星运动的三大规律，即开普勒三定律，选项D错误．

3．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是(

C

) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期

B．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

C．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道上两个不同位置可能具有相同的速率

D．某个卫星绕地球的自转轴做圆周运动且经过北京的上空

r3a3解析

根据2＝2(式中r为圆轨道半径，a为椭圆的半长轴)，若r＝a时，两颗卫星的T1T2

周期相同，选项A错误；所有的同步卫星的轨道半径均相同，选项B错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，选项C正确；卫星绕地球运行时，仅受万有引力作用，且由万有引力提供向心力，而万有引力总是指向地心，所以所有绕地球做圆周运动的卫星，轨道的圆心一定与地心重合，选项D错误．

一

万有引力定律的理解与应用

1．地球表面的重力与万有引力

地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向GMm和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝2－mRω2自. R2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力

物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即GMmmg＝2，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM＝gR2. R3．距地面一定高度处的重力与万有引力

GMm物体在距地面一定高度h处时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力R＋h2加速度．

[例1](2018·河南郑州模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h.“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为(

C

) R－dA．

R＋hR－dR＋h2C．

R3R－d2B．

R＋h2R－dR＋hD．

R2M解析

令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝G2.R4G·ρ·πR334GM4由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝2＝＝πGρR.23RR3根据题意有，质量分布均匀的球壳对地壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重

g′R－d4Mm力加速度g′＝πGρ(R－d)．所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，3gRR＋h2g′R－dR＋h2GMaR2“天宫一号”的加速度为a＝所以＝＝，故选项C正确，2，2，gR＋haR3R＋hA、B、D错误．

二

天体的质量和密度的计算

1．“g、R”计算法

利用天体表面的重力加速度g和天体半径R

MmgR2(1)由G2＝mg得天体质量M＝. RGMM3g(2)天体密度ρ＝＝＝. V434πGRπR32．“T、r”计算法

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T

Mm4π2r4π2r3(1)由G2＝m2得天体的质量M＝2. rTGTMM3πr3(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.

V43GT2R3πR3(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．

[例2](2018·浙江宁波模拟)(多选)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t.已知万有引力常量G，月球绕地球公转(可看成匀速圆周运动)周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出(

AB

) A．月球到地球的距离

C．月球受到地球的引力

B．地球的质量

D．月球的质量

3π，GT2解析

根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，选项A正确；由Mm4π24π2r3G2＝m2r可求出地球的质量M＝2，选项B正确；我们只能计算中心天体的质量，rTGT选项D错误；因不知月球的质量，无法计算月球受到地球的引力，选项C错误．

估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天

4体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径．

3

三

人造卫星的运行规律

1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

vGM1m→v＝→v∝rrr1

GMm＝mωr→ω＝GM越高越慢→ω∝rrr＝Rr＋h4π4πr规律mr→T＝→T∝rGMTGM1ma→a＝→a∝rrGMmmg＝R在地球表面时→GM＝gR2地

2233223232222地地

(1)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．

(2)卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．

(3)an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．

[例3](2018·甘肃兰州调研)在同一轨道平面上的三颗人造地球卫星A、B、C都绕地球做匀速圆周运动，在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有(

C

)

A．根据v＝gr，可知vA

B．根据万有引力定律，可知向心力FA>FB>FC

C．向心加速度大小aA>aB>aC

D．三颗人造地球卫星各自运动一周，C先回到原地点

v2GMm4π22解析

根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力可得2＝ma＝m＝mωr＝m2rrTr，卫星的速度v＝GM，可见r越大，v越小，则有vA>vB>vC，故选项A错误；由于三rMm颗卫星的质量关系未知，无法根据万有引力定律F＝G2比较引力的大小，故选项B错误；rGM卫星的向心加速度a＝2，r越大，a越小，则有aA>aB>aC，故选项C正确；卫星的周期Tr

＝2πr3，r越大，T越大，所以运动一周，A先回到原地点，C最晚回到原地点，故选GM选项D错误．

[例4](多选)地球同步卫星可视为绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(

BC

) A．同步卫星的周期可能小于24 h B．同步卫星的速度小于第一宇宙速度

C．同步卫星的速度大于赤道上静止(相对地球)物体的速度

D．同步卫星在运行时可能经过北京的正上方

解析

同步卫星的角速度ω与地球自转的角速度相同，周期也是相同的，均为24 h，v2Mm选项A错误；由G2＝m得v＝rrGM，轨道半径r增大，卫星的速度v减小，故同步卫r星的运行速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由v＝ωr结合ω相同，可得同步卫星的速度大于赤道上静止物体的速度，选项C正确；同步卫星只能在赤道的正上方，不可能经过北京的正上方，选项D错误．

同步卫星的六个“一定”

四

卫星(航天器)的变轨问题及对接问题

(1)航天器变轨问题的三点注意

①航天器变轨后稳定在新轨道上的运行速度由v＝GM判断．

r②航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．

③航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．

(2)变轨的两种情况

较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道

[例5](2018·北京海淀区期中测试)(多选)某载人飞船运行的轨道示意图如图所示，飞船先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，远地点为P.当飞船经过点P时点火加速，使飞船由橢圆轨道1转移到圆轨道2上运行，在圆轨道2上飞船运行周期约为90 min.关于飞船的运行过程，下列说法中正确的是(

BCD

)

A．飞船在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等

B．飞船在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度

C．轨道2的半径小于地球同步卫星的轨道半径

D．飞船在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度

解析

由于飞船经过点P时点火加速，使飞船由椭圆轨道1转移到圆轨道2上运行，外力做正功，机械能增加，所以飞船在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，选项A错误；根据开普勒第二定律，可得飞船在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度，选项B正确；根据公式T＝2πr3可得半径越大周期越大，同步卫星的周期为24 h，GM大于轨道2上运动的飞船的周期，故轨道2的半径小于同步卫星的运动半径，选项C正确；GM根据公式a＝2，因为在轨道1上运行经过P点和在轨道2上运行经过P点的运动半径相r同，所以加速度相同，选项D正确．

[例6]我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(

C

)

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

解析

若使飞船在空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一

轨道上运行，然后空间站减速，所需向心力变小，则空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误．

五

天体运动中的“多星”系统

在天体运动中，离其他星体较远的几颗星，在它们相互间万有引力的作用力下绕同一中心位置运转，这样的几颗星组成的系统称为宇宙多星模型．

1．“双星”系统

(1)两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两恒星做匀速圆周运动的向心力大小相等．

(2)两颗恒星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的．

(3)两颗恒星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系r1＋r2＝L. 2．“多星”系统

(1)多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其他各个行星对该行星的万有引力的合力提供．

(2)每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等．

[例7](多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(

ABC

)

A．每颗星做圆周运动的线速度为B．每颗星做圆周运动的角速度为C．每颗星做圆周运动的周期为2πGm

R3Gm

R3R3

3GmD．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

m2m23解析

每颗星受到的合力为F＝2G2sin 60°＝3G2，轨道半径为r＝R，由向心力RR3

v24π2r3Gm2公式F＝ma＝m＝mωr＝m2，解得a＝2，v＝rTR显然加速度a与m有关，故A、B、C正确．

Gm，ω＝R3Gm，T＝2πR3R3，3Gm天体运动中的“多星”系统特点

(1)不论是双星还是三星系统模型，每个星体都做匀速圆周运动(中心星体除外)，且周期、角速度相等．

(2)注意应用数学知识，由星体距离求轨道半径．

(3)只有当系统中星体质量相等时，它们的轨道半径才相等．

1．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(

CD

)

T0A．从P到M所用的时间等于

4B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C．从P到Q阶段，速率逐渐变小

D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

解析

海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可知，从P→Q速度逐渐减小，T0故从P到M所用时间小于，选项A错误，C正确；从Q到N阶段，只受太阳的引力，故4机械能守恒，选项B错误；从M到N阶段经过Q点时速度最小，故万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．

2．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(

C

) A．周期变大

C．动能变大

B．速率变大

D．向心加速度变大

解析

天空二号单独运行时的轨道半径与组合体运行的轨道半径相同．由运动周期T＝2πr，可知周期不变，选项A错误；由速率v＝GMGM，可知速率不变，选项B错误；rv2因为(m1＋m2)>m1，质量增大，故动能增大，选项C正确；向心加速度a＝不变，选项Dr

错误．

3．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G.则飞船所在处的重力加速度大小为(

B

) A．0 GMmC．

R＋h2GMB．

R＋h2GMD．2

hGMmGM解析

对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律有，2＝mg′，解得g′＝R＋hR＋h2故选项B正确，A、C、D错误．

4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(

B

) A．1 h C．8 h B．4 h

D．16 h 解析

地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，卫星的轨道半径应变小，当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道120°的圆周时，卫星的轨道半RMm径r＝＝2R；它们间的位置关系如答图所示，此时卫星周期最小，设为T0，由G2＝sin30°r4π26.6R32R3m2r得＝2，解得T0≈4 h．故选项B正确．

T242T0

5.如图所示是月亮女神、嫦娥一号绕月做圆周运行时某时刻的图片，用R1、R2、T1、T2分别表示月亮女神和嫦娥一号的轨道半径及周期，用R表示月亮的半径．

3R31R2(1)请用万有引力知识证明：它们遵循2＝2＝K，其中K是只与月球质量有关而与卫星T1T2无关的常量；

(2)经多少时间两卫星第一次相距最远；

(3)请用所给嫦娥1号的已知量，估测月球的平均密度．

2πMm解析

(1)设月球的质量为M，对绕月亮运行的卫星由牛顿第二定律均有G2＝mTR2R，

R3GM解得2＝2＝常量，

T4πR3R312即2＝2＝K，且K只与月球质量有关而与卫星质量无关；

T1T2tt－2π＝π，

(2)两卫星第一次相距最远时有T1T2T1T2解得t＝；

2T2－2T1(3)对嫦娥1号由牛顿第二定律有

2π2MmG2＝mT2R2，

R24πR3又M＝ρ，

33πR32解得ρ＝32. GRT2T1T23πR32答案

(1)见解析

(2)

(3)32

GRT22T2－2T1