2.用转化的策略求简单数列的和优质教案设计

用转化的策略求简单数列的和

盐渎实验学校姚芳芳

教学目标:

1、在活动中,通过观察前后图形中点的变化规律,推理得出后续图形中点的排列方式。

2、借助于图形,研究、发现几类有规律的加法的计算方法,体会数形结合的思想。

3、培养学生推理、观察、概括能力。

4、感受“数形结合”的神奇之美,并获得“我能发现”的成功体验。

教学重难点:

重点:探究发现图形中的规律

难点:独立发现同一图形中不同的规律。

教学过程:

课前谈话:

师:上课之前,我们一起来欣赏几张图片。(出示)告诉老师,你看到了什么?

还有哪些同学也能同时看到两组图案?仔细观察,就会有不一样的发现呢!

再看这一张!如果换个角度看呢?会看到什么?……

果然,换个角度,所看到的大不一样!

数学研究中,也常常需要我们换个角度,仔细观察。

好,同学们,准备好上课了吗?

一、激情导入,抛砖引玉

同学们,见过阅兵式吗?(出示阅兵式录象)。战士们整齐地前进着,远远看去,就是一个个整齐排列的点,这些点在一起,就可以看成一个个图形。这些阵不仅威武壮观,其中还包含着很多数学知识呢,今天我们就一起来探寻图形中的数学规律。(板书)

二、多方观察,探求规律

走进图形

1、一探。

师:一起来走进奇妙图形吧,边看边说出各个图形的点数。

依次出示四个正方形图形图,并逐步引导学生想像、猜测:下一个图形图会是什么样子呢?和你想的一样吗?

生:一样。16个点。

师:怎么数得这么快?有窍门吗?

生:我是算的。

师:怎么算?(板书)

序号点数算式

1 1 1×1=1

2 4 2×2=4

3 9 3×3=9

4 16 4×4=16

师:这种数法真是又快又方便!还有哪些同学也是这样算的呢?

同学们,这种形状的图形就是正方形图形。接着往下想,第五个图形有多少个点呢?用算式怎么表示?第六个呢?……第n个图形呢?

生:

师:发现其中的规律了吗?每个图形的点数与什么有关呢?

生1:就是边长乘边长。

生2:还与是第几个图形有关系,第一个就是1×1,第二个就是2×2,第三个就是3×3,一直这样数下去。

师:说得好,你也发现了吗?第五个图形怎么画?

2、二探。

师:刚才我们研究了一组正方形图形中隐含的规律。对于同一个图形,如果换个角度观察,又会有怎样的发现呢?请看。(PPT出示)

还是第五个图形,像图中这样进行划分,你有什么发现?

生1:我发现从短的线开始,每条线内的点分别是1、3、5、7、9。

生2:这个正方形图形的点数用算式表示就是:1+3+5+7+9=25。……

师:换一个角度,所列的算式也就不一样了。按这种分法,前面4个图形的点数用算式怎么表示?学生汇报:(板书)

序号点数算式

1 1 1×1 1=1

2 4 2×2 1+3=4

3 9 3×3 1+3+5=9

4 16 4×4 1+3+5+7=16

5 25 5×5 1+3+5+7+9=25

师:瞧,我们又得到了一组算式,仔细观察,你有什么发现?

生：都是连续的奇数在相加。 师：是任意的连续奇数吗？ 生：是从1开始的连续奇数在相加。 师：加数的个数和什么有关系呢？

生：和序号有关系。第几个图形就是从1开始的几个连续奇数相加。 师：第三个图形就是？第五个图形是？

师：第六个图形，也这样划分，它的点数该如何用算式来表示？有几个奇数？ 生：1＋3＋5＋7＋9＋11

师：这两组算式都是表示同一组图形的点数，它们的结果一定是（生）相等的，我们就可以用等于号连接。仔细观察这里的每一个等式，你有什么发现呢？ 从1开始的连续奇数的和与什么有关系？ 生：个数 序号 师：什么关系？ 生：平方

师：这个关系可以怎么说？ 还有哪些同学也发现了？ 谁能完整地说一说吗？ 生：从1开始的连续奇数的和等于个数的平方。（出示）

师：1+3+5三个连续奇数的和就等于3的平方， 1+3+5+7就等于4的平方…… 师：一起来做两题。……

师：掌握了规律，计算起来真是方便。 3、三探

师：刚才我们是把这个正方形图形用折线进行了划分，很显然图形的分割方法不止这一种，你还能想到其他的划分方法吗？打开作业纸，在第一题的图形上动笔分一分，看看你能想出几种分法？别忘了列出相应的算式。

看来同学们都已经分好了，我们请几个同学到前面分给大家看看。 学生汇报，到讲台前用手指出来：

生1：用横线划分，算式是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25或5×5 ＝ 25。 生2：用竖线划分，算式也是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25或5×5 ＝ 25。 生3：用方形划分，算式是：1+8+16=25

生3：用斜线划分的，用算式表示就是1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1。（如图）

师：我们发现，不同的划分方法，所列的算式也不一样！一起来看大多数同学想到的折线划分法，仔细观察这个算式，你有什么发现？

生1:算式里最大的数是5。

生2:这个算式是从1开始加到5再加回到1。

师:加数的排列很有特点,伸出你的手,我们一起来用动作做一做,……像爬楼梯一样。生3:这个算式的两边是对称的,5在中间。

师可以做对称、对折的动作:像不像一个宝塔,我们就先称之为“宝塔算式”吧。

生4:这个图形的点数是就中间那个数字5乘5的积。

师:前面四个图形也可以这样列算式吗?

师:前面发现的规律在这里还存在吗?……

学生看图一一列式。教师板书。

师:照这种划分法,第六个正方形图形的点数如何表示?第9个呢?第n个呢?

师:这几个式子的和各是多少呢?

生分别解答

师:找到“宝塔算式”的计算规律了吗?

生:和=中间数的平方。

师:可以直接口算了。

4、四总结

师:对于这个图形,我们通过多角度的探究,得到了不同却有规律的一组算式,并且发现了这些算式巧妙的计算方法,它们都等于(生)一个数的平方!其实早在2300多年前,古希腊数学家毕达哥拉斯就非常善于寻找图形中的规律,他认为,在表现一些数的特征方面,图形更加直观。

三、亲身探索发现规律

师:在正方形图形里,相信很多同学都领略到了数与形的完美结合,下面还想研究什么阵呢?……好,那我们就一起到长方形图形中去探一探吧!

探秘图形:(这一部分交给学生来研究,汇报,以学生的说为主,老师的点拨为辅)读题。填空,第五个图形怎么画。

探究:

1、观察上面图形中的规律,填空并思考:长方形图形的点数和什么有关?

2、将这组图形用线分一分,列出相应的算式。

3、你所列的一组算式中的数有怎样的规律?

4、结合图形中的规律,可以怎样计算你所列的算式?

师:请大家在正方形图形的研究基础上,以小组为单位,四位同学一起来完成作业纸上第2题,如果有什么问题,可以相互交流。完成后,一定要推举一位同学等下到前面来讲给大家听哦!我们要比一比,哪一组最厉害!

合作要求:

1、以小组为单位,四位同学一起完成作业纸上第2题。

2、遇到问题,在小组里交流,形成一致的认识后在作业纸上写出来。

3、四道题目全部完成后，小组推举一位同学到前面来汇报。 （学生分组活动）

接下来，老师想把这里交给你们，给咱们班最优秀的同学一个展示的舞台。大胆地讲，老师和同学们会是你最坚实的后盾。 学生汇报：

一、基本型（横分或竖分）：长×宽

二、折线型：从2开始的N个连续偶数的和=个数×（个数+1）

三、斜线型：宝塔算式=中间数×（中间数+1）

四、转化……

师：同学们真了不起！仔细观察、认真讨论，从不同的角度找到了图形中隐藏的规律。数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形来少直观，形缺数来难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”（一起读）相信同学们一定对这句话有了更切身的体会。 带着这样的体会，课后解决这两个问题吧！ 回味图形：

题目留给学生课后做，课上只课件出示一下题目。 四、联系生活 感受图形

师：图形的知识在生活中有着广泛的应用，除了课开始大家看到的兵阵，还有哪些地方运用了图形的相关知识呢？ 生：……

师：老师给大家带来了一组画面，一起来欣赏！……

师：看来生活中用到图形知识的地方还真不少。它不仅能够帮助人们表达特殊的情感，还有着很重要的实际用途！

相信只要同学们多观察，多思考，一定可以探寻到更多图形中的规律！