构建知识体系教学实录

人教版八年级数学（下）

课题：《勾股定理》复习课

导入：

引课：先看一个视频，这是老师在上海科技馆众多展品中看到的一个模型，它是一个由直角三角形和以其三边分别向外做得的3个正方形所组成的平面模型。充盈在这两个正方形内的液体缓缓注入大正方形内，如此不断循环往复，看到这我在想这个模型究竟在告诉我们什么呢？不知同学们有没有想法？

生：两个小正方形面积和等于大正方形面积

师：将中间直角三角形标记为Rt△ABC，你又能得到什么结论吗？这或许告诉我们存在于直角三角形三边间的某种关系：

生猜想：a2+b2=c2

讲授：

猜想后不妨验证：

活动一：作一个直角边分别为3cm、4cm的直角三角形，让我们量一下它的斜边有多长？

3、4、5组合的直角三角形，公元前一世纪就被我国数学家发现，《周髀算经》中提到“勾3、股4、弦5”，这个特殊三角形的发现为世界数学史揭开了一页崭新的篇章，但是就凭借这么一个特殊三角形的例子怎么能说明猜想正确性呢？

活动二：拿出我们昨天准备好的直角边是6、8的直角三角形，测一下它的斜边。利用多媒体技术制作了直角三角形，测量数据如下，他们也满足a2+b2=c2。其实在我国古代《九章算术》中也记录了这样类似的式子，古人这一发现和我们之前的猜想是吻合的。

问：那么现在我们对于这个存在于直角三角形三边间的关系是否确认无疑？

再多的实验数据只能增加结论的可靠性，特殊的数据永远代替不了一般规律。

本着严谨的治学态度，当时科学家们又纷纷由验证过程转化论证过程，这条路走得非常艰辛，他们费尽心思，动足脑筋，经历了半个多世纪沉寂才被人们掌握，老师协助同学们能否在短时间内将这个难题攻克。

问：我们证明这一结论，从什么角度着手证明呢？

到底怎么证明呢，我们先来做一个拼图游戏：

活动三：以4个直角三角形边为界围成正方形，且让这4个直角三角形位于正方形内。是否符合我们的游戏规则呢?是否能为我们的论证提供强有力的帮助呢？

方案1：

（利用图形面积证明结论）

介绍一个人，我国三国时期数学家刘徽在他的《九章算术注》中提出以“出入相补”的原理来证明。以上证发正是和刘老前辈一样。

a b

c c c

b a c a 方案2：

a b

b

a 方案3：c c

a b

b 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对直观易懂、简捷明了的证明，就把这一证法称为

“总统”证法。

这三个方法殊途同归，终于这个存在于直角三角形三边间的特殊关系被我们掌握了，我国古代比西方毕达哥拉斯发现证明早500多年，为此称“勾股定理”，它是数学界十分重要的定理。这个关系到底是什么呢？

语言叙述：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方和。

数学语言转述：如图在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2 最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽，在为《周髀算经》作注时给出了一幅“勾股圆方图”，也叫“弦图”。赵爽是当今世界“以形证数”第一人。此图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。勾股定理有一项世界吉尼斯记录，它的证法多达500多种，他是当今世界证明方法最多的一个数学定理。如：古希腊数学者毕达哥拉斯，几何学之父欧几里得德，还有爱因斯坦、牛顿，甚至画家达芬奇也曾给予证明，了不得呀！

由猜想——验证——论证，认识了这个勾股定理，下面到应用时间。

下面对整章知识要点进行复习。

知识网络

要点梳理

要点一、勾股定理

1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2b2c2）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c，满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；

（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系，若a2b2c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数

满足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5；

②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为a、b、c，且abc，那么存在a2bc成立.（例如④中存在72＝24＋25、92＝40＋41等）

应用一：看谁算得又对又快

1、求下列直角三角形中未知边的长度

15 5 13 8 x x

应用二:2、已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为

。

数学中的分类讨论思想，不取决题目难易，而在于同学们基本技能、基本知识点是否弄明白，定理中哪些是我们先得确认的条件呢？

“Rt△ABC中，∠C=90°”，这就造成此题的不确定因素。为什么不会是

∠A=90°？（生：直角三角形中斜边最长）

应用三:

活动四：两人小组讨论交换思想，先梳理再解答，注意书写规范

应用四: 生活中的数学问题，应用知识回归生活

4、一个门框尺寸如下图所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否通过此门？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

小结：我探索了......

我感受了......

我知道了...... 我们由猜想——验证——论证，认识了勾股定理，又再现了以形证数的重要数学思想，经历了一条由特殊到一般的科学探索之路，平添了一份身为中国人的自豪，把这些知识财富传递给大家，老师感到非常快乐，希望大家学有所成！

当然千里之行，始于足下，今天的作业是：

1、通过查阅资料，了解勾股定理的其他证明方法并试着证明。

2、书P28

1、2 活动：

活动一：作一个直角边分别为3cm、4cm的直角三角形，让我们量一下它的斜边有多长？

活动二：拿出准备好的直角边是6、8的直角三角形，测一下它的斜边。

如图，求AD的长

活动三：四人一小组，以4个直角三角形边为界围成正方形，且让这4个直角三角形位于正方形内。

活动四:两人小组讨论应用三，交换思想，梳理解题过程。

设计说明：勾股定理是一个重要的数学定理，证法众多且应用广泛，同时又有相当深厚是历史文化背景，这节课我与学生共同营造了以知识与人文交相辉映的课堂氛围，始终以勾股定理发生、发展为主线，以事实穿插的人文背景为辅助，在学生们收获知识的同时，积淀一份中华情节，以优秀前辈为榜样，激发了他们后续学习热情。作为授课者，我期望通过这堂课使学生达到以下几点：

掌握一个存在于直角三角形间特殊关系——勾股定理；再现一种利用几何图形截、割、拼、补完成代数恒等式证明的数学思想；带领学生们经历了一条由特殊到一般的科学探索过程；更平添了一份生为中国人的自豪，让德育教育渗透在数学课堂中。