2.1.2 向量的几何表示教学创新设计

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计

【教学目标】

1、知识与技能

（1）掌握平面向量的数量积的定义. （2）体会平面向量的数量积的物理背景. （3）掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算. 2、过程与方法

（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系. （2）在向量数量积定义的给出过程中，体会简单归纳与严谨定义的区别. （3）通过向量数量积运算律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法. 3、情感、态度与价值观

通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，领悟其中的数学思想，培养学生的科学思维习惯．

【教学重点、难点】

重点：1、平面向量数量积的定义与物理意义.

2、性质与运算律及其应用. 难点：1、对平面向量数量积的概念的理解.

2、平面向量数量积的性质及运算律的探究、理解和应用.

【教学方法】

教学方法：

“互动式教学”和“学案导学法”

教学手段：

利用多媒体课件、实物投影仪及采用学案导学

第一课时

【教学过程】

教学内容

一、引入

1.导言：下面4个图中在力F的作用下，发生一段位移s，试表示力F所做的功W。

F s F

s

F

s

2、平面向量数量积（内积）的定义性质：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 符号中的“.”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．

例1、已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角=120，求a·b

o师生互动

教师提出问题，学生回忆所学知识，思考回答

设计意图

为下一步引出数量积的概念做铺垫；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系

培养学生的知识迁移能力.

强化定义的记忆

引出数量积的性质

探究：当夹角分别为0、60、90、180时，a·b的值又是多少



例2.已知|a|12,|b|9,ab542,求a和b

的夹角.

思考：平面向量的数量积是一个数量，何时值为正？何时值为负呢？

3.平面向量数量积的性质

分析功的物理本质

模仿功的公式定义向量的数量积

运用定义解决问题

提出问题学生思考

设向量a,b都是非零向量,向量a与向量b和夹角为，则(利用填空形式引导学生总结，并利用定义每写一条证一条)

由学生运用定义自行推理并填空，

培养学生通过定义解决问题

(1)abab0

（判定两向量垂直的充要条件）

(2)当a,b方向相同时，abab

当a,b方向相反时，abab

特别的：aaa或aaa

（用于计算向量的模）

2|a||b|(4)|(3) a

b|___跟踪训练判断正误，并说明理由.(1)ab的结果是一个向量(2)|ab||a||b|×√√(3)对任意向量a都有a|a|2(4)若a0,则对任意b，都有ab02×(5)若a0,则对任意一非零向量b有ab0×（6）若ab0,则a0或b0(7)a//bab|a||b|×

×4.投影的概念及向量数量积的意义

向量数量积的意义：数量积ab等于a的模｜a｜与b在a的方向上的投影｜b｜cos 的乘积

练一练：|a|cos若|a|4,|b|8,a与b夹角为（1）当300时a在b上的投影为23（2）当900时a在b上的投影为0（3）当1200时a在b上的投影为2（4）当1200时b在a上的投影为4|b|cos

练习、1已知在ABC中，BC=5,CA=8,C=60,求BCCA.教师给与补充

学生判断正误巩固课堂所学，综合运用向量的数量积的概念、性质解决问题.

学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案

老师板书学生自己完成，老师讲评. 的能力.

学练结合及时将所学知识纳入知识体系.

培养学生运用新知识解决问题的能力.

让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入

练习2、已知|a|4,|b|5,当（）1a//b;(2)ab时,分别求a与b的数量积.三、课堂小结：

①平面向量的数量积的概念及其性质和运算律；

②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运算，注意它们的区别；

③会用数量积的运算解决问题；

④体会分类讨论的思想。

让学生写出基本框架，然后添加具体内容

进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力和习惯

养成学生看书的习惯



四、作业

1、

看书反思本节内容；

2、《学习与评价》p106练习、P108习题2、6、7。

教

学

资

料

2018年中青年教师“评优课”

数学学科教学设计

段

伟

哲

栾城区第三中学