2.5.2 向量在物理中的应用举例优质教案设计

2.5.2 《向量在物理中的应用举例》教学设计

宁夏西吉中学 韩世强

教材分析

本节内容是数学必修4 第二章

平面向量 2.5平面向量应用举例 2.5.2向量在物理中的应用举例.是在学习了前四节的基础上,把向量与物理问题相联系，以两个例题为例介绍了如何利用向量解决物理问题.向量在物理中的应用实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.同时本节课也是对向量相关知识进一步巩固、应用，使学生能够更加熟练的运用向量进行正确的计算，加深对向量相关知识的理解，深化学生对向量的理解，培养学生数学实际应用的能力.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，通过情景创设让学生通过两个例题及几个典型问题的学习体会向量是一种处理物理问题的工具.进而培养学生分析问题、解决问题的能力以及加深学生对向量相关知识的理解与认识. 教学目标

重点: 利用向量方法解决与物理相关的实际问题.

难点：选择适当的物理题和恰当的方法——建立以向量为主题的数学模型，将物理问题转化为数学问题．

知识点：如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型；如何通过建立的数学模型解释相关的物理现象. 能力点：使学生学会运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学

生探究问题和解决问题的能力. 教育点：通过用向量知识解决物理和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用. 自主探究点：物理问题如何利用向量的方法解决. 考试点：用向量解决相关的物理问题. 拓展点：用向量解决物理问题的具体方法与步骤. 教具准备 多媒体课件. 课堂模式 自主探究+合作交流

自主探究

通过问题一与问题二的例子，探究如何运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题. 【设计意图】通过两个问题所提出的问题，由学生进行交流探讨结论的方式能够更好的激发学生对未知知识的研究兴趣,提高课堂的学习气氛，两个引例中所提出的问题都紧扣向量在物理中的应用的相关知识来展开。由学生合作交流来回答问题也便于掌握学生的思维方向，便于针对性的纠正，并高效的总结。

引入新课

问题一:

向量与位移、速度、力等物理量之间的联系非常密切.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？你能举出物理中的哪些向量?你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？

向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.

1

问题二:

结合下列情境思考问题

图1 图2 图3

1、有一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两支胳膊悬空拎起,结果造成小孩的胳膊受伤. 2、两个人提一重物怎样提最省力？

3、一个人静止地垂挂在单杆上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？

4、如何从数学的角度解释这些现象？

向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题. 【师生活动】

老师：提出问题，让学生学会归纳整理数学知识，为探究向量在物理中的应用做好准备.

学生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．

老师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论. 【设计意图】本引例通过学生经历问题的提出与问题的解决过程，为下一步使学生明确向量在物理中如何应用做铺垫.

二、探究新知

（一）如何建立数学模型求解物理问题.

我们研究向量在物理学的应用时,用的是数学模型方法,就是把物理问题用数学语言加以抽象概括,再从数学角度来反映物理问题,得出关于物理问题的数学关系式,从而建立了相应的数学模型,它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系. 这些关于物理问题的数学模型,可以是几何图形,方程式,函数解析式等等.再从数学角度对数学模型进行推理演算,得出物理问题的解答.这些基本步骤用框图表示如下: 物理问题问题转化数学问题问题答案模型建立数学模型的解参数获取数学模型

（二）向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；

(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；

(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象. 【师生活动】

2

分组讨论问题一和问题二，由学生选出小组代表阐述各自小组的结论，师生共同评析归纳．

【设计意图】通过学生分组讨论、合作交流的方式解决实际问题的过程，可以加深理解学生们对于应用向量的方法解决物理问题的理解与认识.

三、理解新知

通过对两个引例中的问题的探究，使学生了解物理与向量的密切关系。同时，应用向量知识解决力学问题，首先要对物体进行正确的受力分析，画出受力分析图像，在此基础上转化为向量问题.应用向量知识解决速度问题，首先要对物体运动的速度进行合理的合成与分解，结合运动学原理，转化为数学问题.

四、运用新知

(一) 例1：

在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 分析:

这个日常生活问题可以抽象为如图4所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.

图4

解: 不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道

12|G||G|

cos2|F1|2cos2通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,由0°到90°逐渐变大,cos的值由大逐渐变22小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 【师生活动】学生画受力分析图，分析数据，进而解释物理现象.教师让学生发表自己的探索过程、结果，然后加以点评，引导学生进一步的探究.

点评: 本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现. 总结：用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 变式训练

3

1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为(

) A.215

km

B.6 km

C.84

km

D.8 km 分析:画图像分析，要通过作高来求.

答案：B 2．某人向正东方向走xkm后，他向右转150,然后朝新方向走3km，结果他离开出发点恰好是3km，则x＝________ 答案：3km或23km

总结：物理学中的许多量,例如力、位移、速度、加速度等,也是既有大小又有方向的量，可以用向量这一数学工具来解决,我们常用数学模型方法对物理问题加以分析探究. (二) 例2： 一条河的两岸平行,河的宽度d=500m, 一艘船从

A处出发到河的正对岸B处, 船航行的速度|v1|=10 km/h, 水流速度|v2|=4 km/h,那么v1与v2的夹角θ(精确到1°) 多大时,船才能垂直到达对岸

B 处?船行驶多少时间

(精确到0.1min)? 图5

分析:如果水是静止的，则船只要取垂直于河对岸的方向行驶就可以了，但由于水流的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于河岸方向.

解: v所以

tBv1v296km/h

d0.5603.1min

v96v122vθAv2答:行驶航程最短时,所用时间是3.1min

图6

点评：用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过这个数学模型的研究解释相关物理现象. 变式训练

1、一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.

4

图7 解：如图7所示,设OA表示水流速度,OB表示船垂直于对岸的速度,OC表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB|=5 km/h.因为OACB为矩形,所以|OA|=53km/h, |OC|=|OA|53==10 km/h. cos3032答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.

总结：研究向量在物理学的应用时,用的是数学模型方法,就是把物理问题用数学语言加以抽象概括,再从数学角度来反映物理问题,得出关于物理问题的数学关系式,从而建立了相应的数学模型,它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系. 这些关于物理问题的数学模型,可以是几何图形,方程式,函数解析式等等.再从数学角度对数学模型进行推理演算,得出物理问题的解答. 五、课堂小结

(一)本节课的知识: 用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”：

1.把物理问题转化为数学问题；

2.建立以向量为主题的数学模型；

3.求出数学模型的有关解------理论参数值；

4.回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.

(二) 本节课用到的思想方法: 1.转化与化归思想；

2.数形结合的思想. (三)解题中要注意的问题：

1.对于某些问题应选取适合的数学模型进行求解计算；

2.向量相关公式的应用要灵活．

六、布置作业 1.书面作业

必做题: 1、课后习题2.5

A组第3题

答案：

解：（1）vvBvA(2,7)；

（2）v在vA方向上的投影为

5 vvAvA13. 5

2、课后习题2.5

A组第4题

答案：

A组第4题

解：设F1，F2的合力为F，F与F1的夹角为，

则F31，30；

F331，F3与F1的夹角为150°. 3、某人骑自行车的确速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度在大小为（

）. A．v1v2

B．v1v2

C．|vv1|1||v2|

D．||v|

2答案：C 4、用力F推动一物体水平运动s

m,设F与水平面角为，则对物体所做的功为（

）

A．|F|s

B．Fcoss

C．Fsins

D．|F|coss

答案：D 5、某人以时速为akm向东行走，此时正刮着时速为akm的南风，则此人感到风向及风速分别的为（A．东北，2akm/h

B．东南，akm/h

C．西南，2akm/h

D．东南，2akm/h

答案：D

选做题:

1、课后习题2.5

B组第3题

答案：

解：（1）设P(x,y)，则AP(x1,y2). AB(2,22). 将AB绕点A沿顺时针方向旋转4到AP，相当于沿逆时针方向旋转74到AP，

于是AP(2cos7422sin74,2sin7422cos74)(1,3)

所以x11，解得xy230,y1

（2）设曲线C上任一点P的坐标为(x,y)，OP绕O逆时针旋转4后，点P的坐标为(x,y)

）

6

xxcosysinx44则，即yyxsinycos442(xy)2

2(xy)2又因为x2y23，所以(xy)2(xy)23，化简得y2.课外思考

1、课后习题2.5

B组第2题

12123

2x答案：设v1与v2的夹角为，合速度为v，v2与v的夹角为，行驶距离为d. 则sinv1sinv10sinvv0.5d1，d. ∴. sin20sin20sinv所以当90，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. [设计意图]进一步加强学生利用向量解决相关物理问题的能力. 七、教后反思 1.本节课教学目标明确，重点、难点突出，使得学生在学习时能够有的放矢，思路清晰；

2.探究材料特点突出，能够紧扣本节课的知识大纲，“组内合作，组间交流”的模式高效的利用了课堂的有限时间，并且突出了学生的主体地位；

3.例题的处理采用老师以问题引导，学生思考、探究、动手操作的形式完成的。问题的设计具有较强的目的性，能够正确引导学生学习；

4.师生共同总结出建模的思路、方法，并通过练习及时进行巩固，让学生经历了“典型例题—总结规律方法—应用规律解决问题”这样一个过程；

5.例题及练***都是的课本上的题目，突出了教材的主要地位；

6.由于例题题干文字叙述较多，把实际问题转换为数学图形并建模需要学生认真的进行思考，所以在课堂上做练习题巩固知识的时间就显得有点少；

7．问题的探究与解决需学生全力集中参与，因此，在师生互动的引导上需做更多思考. 八、板书设计

2.5.2 向量在物理中的应用举例

引例

问题一

问题二

结论：应用向量解决物理物理问题的步骤与方法

例1

变式训练

例2

变式训练

小结:

利用向量解决相关物理问题的一般方法

作业:

7