2.5.2 向量在物理中的应用举例特级教师教学实录

§2.5平面向量的数量积

第1课时

一、

平面向量的物理中应用举例

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程：

一、复习引入：

1．

向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

4．平面向量的坐标运算

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，

a(x,y). 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

5．a∥b

(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 6．线段的定比分点及λ

P1，

P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，

P2的任一点，存在实数λ，

使

P1P=λPP2，λ叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)

(外分) λ<0 (λ<-1)

( 外分)λ<0

(-1<λ<0) 7. 定比分点坐标公式：

若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P的坐标为（x1x2y1y2,），我们称λ为点P分P1P2所成的比. 118. 点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，P1P与PP2同向共线，这时称点P为P1P2的内分点. ②当λ＜０(1)时，P1P与PP2反向共线，这时称点P为P1P2的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设OP

1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=ab1ab. 11110．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角. 二、讲解新课：

1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？

几何问题向量化

向量运算关系化

向量关系几何化. 2.向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题

探究（一）：向量在力学中的应用

思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？

思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？

夹角越大越费力. 思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物体的重力为G，那么F1、F2、G三个力之间具有什么关系？

F1＋F2＋G=0.

思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的关系如何？

思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？

思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？为什么？

探究（二）：向量在运动学中的应用

思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝

2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？

思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？

思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？

思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？

例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和

你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何元素。

简述：形到向量

向量的运算

向量和数到形

例2

如图，

ABCD中，点E、F分别是AD 、

DC边的中点，BE 、

BF分别与AC交于R 、

T两点，你能发现AR 、

RT 、TC之间的关系吗？

小结作业

①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值

作业：

P113习题2.5A组：3，4.

B组：2.