2.1.3 相等向量与共线向量教案设计（一等奖）

§2.1.3

相等向量与共线向量

教学分析

本节是在学习了向量的概念基础上,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 教学目标

二、掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重难点

教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

教具准备：多媒体、课件.

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教学设计

一、情景设置：

(一)、复习

1、向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

2、什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？ (二)、新课学习 思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等，方向相同；

模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；

模不相等，方向不相同；

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量a与b相等记作a=b. 二、探究学习

探究（一）：相等向量与相反向量 1、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量

2

相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. ．．．．．．．．．．思考uuur3：用有向线段表示非零向量ABuuurCD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

uuuruuur和

CD ，如果AB=

A

B

C

D

C

A

思考uuur4：对于非零向量ABB

uuurruuuruuu

和 CD ，如果

AB=CD

，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？（重合）

2.相反向量定义：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 思考uuur6：如果非零向量

ABuuur与CD

是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

（在一条直线上）

探究（二）：平行向量与共线向量

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？

思考3：规定：零向量与任一向量平行. 思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点uuurO，分别作

OAuuuruuur =a，OB =b，

OC =c，那么点A、B、C

3

的位置关系如何？

a

b

c

O

B

C

A

思考5：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，uuur因此，平行向量也叫做共线向量.如果非零向量ABuuur

与CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量 a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？

3、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. ．．．．．．．．．．．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 思考7：对于向量a、b、c，若a // b， b // c，那么a // c吗？

思考8：对于向量a、b、c，若a =b， b =c，那么a = c吗？

注：平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性. 三、理解和巩固：

例1．判断：

4

（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；（×）

（2）不相等的两个向量一定不共线；（×）

（3）若两个非零向量模长相等，则这两个向量相等。（×）

例2如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB相等的向量.

例3例3 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CAuuuruuuruuuuuuruuurruuur边上的点，已知AD=DB,DF=BE,

求证：DE=AF.

A

D

F

B

E

C

小结

1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念. 2、任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 3、向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线. 4、平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.

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课后作业

P77～78习题2.1A组：3，4. B组：1，2.

板书设计

2.1.3相等向量与共线向量

相等向量 例题

相反向量

平行向量

学生展示区

共线向量 小结

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