2.1.3 相等向量与共线向量教案1

2. 1.3相等向量与共线向量

教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向

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线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。

教学目标：掌握平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 教学重点：相等向量、共线向量的概念

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法：结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学过程：

一．复习引入

1.

向量与数量有什么联系与区别？向量有哪几种表示？

联系：向量与数量都是有大小的量；

区别：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小。

向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示。

2.什么叫向量的模？零向量与单位向量分别是什么概念？

向量的模：表示向量的有向线段的长度。

零向量：模为0的向量

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单位向量：模为1个单位长度的向量。

探究（一）：相等向量与相反向量

思考1：向量由其模与方向所确定。对于两个向量

，

，就

其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

答:模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同。

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

答:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量

与

相

等记作

=

。

思考3：用有向线段表示非零向量

和

,如果

=

，那么A， B，C，D四点的位置关系有哪几种可能情形？

答：共线与平行。

思考4：对于非零向量

和

,如果

=

，通过平移使起点A 与C重合，那么终点B和D的位置关系如何？

答：重合

思考5：非零向量

与

称为相反向量，一般地，如何定义 相反向量？

答：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

思考6：如果非零向量

和

是相反向量，通过平移使起点 A与C重合，那么终点B和D的位置关系如何？

答：B和D关于A与C重合的点对称。

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探究（二）：平行向量与共线向量

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

答：方向相同或相反

思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量

与

平行，记作：

‖

,那么平行向量所在的直线一定互相平

行吗？

答：不一定，可能共线。

思考3零向量与向量

平行吗？

答：规定零向量与任一向量平行。

思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向。如图，设

，

，

是一组平行向量，任作一条与向量

所在直线平行的

直线L,在L上任取一点o，分别作

=

,

=

,

=

,那么点

A、B、C的位置关系如何？

答：三点共线。

思考5：上述分析表明，任一组平行向量可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。如果非零向量

和

是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

答：不一定，可能平行。

思考6：若向量

与

平行（或共线），则向量

与

相等或

相反吗？反之，若向量

与

相等或相反，则向量

与

平行

（或共线）吗？

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答：若向量

与

平行（或共线），则向量

与

不一定相等

或相反。反之，若向量

与

相等或相反，则向量

与

一定

平行（或共线）。

思考7：对于向量

，

，

，若

‖

，

‖

,那么

‖

吗？

答：不一定，若

为零向量，

与

位置关系不一定了。

思考8：对于向量

，

，

，若

=

,

=

,则

=

吗？

答：相等。

理论迁移

例1判断下列命题是否正确：

（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；（×）

（2）不相等的两个向量一定不共线；（×）

例2如图，设o为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与

,

相等的向量

B

O

C

D

A

F

E

向量

=

=

=

向量

=

=

=

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例3如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知向量

=

，向量

=

，求证：

=

。

B

小结作业

A

D

E

F

C

1.

相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念。

2.

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

3.

向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线。

4.

平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性。

作业：p77-78习题2.1A组：3,4 B组：1,2

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