2.1.3 相等向量与共线向量设计意图

2.1.3

相等向量与共线向量

忠信中学

数学科组

杨勇灶

A级

基础巩固

一、选择题

1．下列说法中，正确的个数是(

B

) ①时间、摩擦力、重力都是向量；

②向量的模是一个正实数；

③相等向量一定是平行向量；

④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．

A．1

C．3

B．2

D．4 [解析]

对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．

2．下列说法中，不正确的是(

D

) →→A．向量AB的长度与向量BA的长度相等

B．任何一个非零向量都可以平行移动

C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同

[解析]

很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．

3．下列命题中正确的个数为(

B

) ①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；

→→②若非零向量AB与CD共线，则A、B、C、D四点共线；

③若非零向量a与b共线，则a＝b；

→→④四边形ABCD是平行四边形，则必有|AB|＝|CD|；

⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．

A．0个

C．2个

B．1个

D．3个

→→[解析]

①显然错误；②中AB与CD共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；

③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；

④对；

⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．

4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是(

C

) A．南偏东60°

C．南偏东30°

B．南偏东45°

D．南偏东15°

1003[解析]

如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝3，

100

∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．

5．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”(

C

) A．恒成立

C．当b≠0时成立

6．下列说法正确的是(

C

) A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反

→→→→→→→→B．若向量AB、CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD

C．若a≠b，则a与b可能是共线向量

→→D．若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线

[解析]

A不正确．|a|＝|b|，但a与b方向可任意．B不正确，向量不能比较大小．C→→正确．D不正确.AB与CD平行，则直线AB与CD可能平行，可能重合，则A，B，C，D四点不一定共线，故选C．

二、填空题

7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”)．

→→→→8．等腰梯形ABCD两腰上的向量AB与DC的关系是

|AB|＝|DC|

．

三、解答题

9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，

B．当a≠0时成立

D．当c≠0时成立

→→(1)写出与AF、AE相等的向量；

→(2)写出与AD模相等的向量．

→→→→→[解析]

(1)与AF相等的向量为BE、CD，与AE相等的向量为BD．

→→→(2)DA，CF，FC．

10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

→(1)与AB相等的向量共有几个；

→(2)与AB平行且模为2的向量共有几个？

→(3)与AB方向相同且模为32的向量共有几个？

→→[解析]

(1)与向量AB相等的向量共有5个(不包括AB本身)．

→(2)与向量AB平行且模为2的向量共有24个．

→(3)与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．

B级

素养提升

一、选择题

→→→→1．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为(

C

) A．平行四边形

C．菱形

B．矩形

D．等腰梯形

→→→→→→[解析]

由BA＝CD⇒BA∥CD且|BA|＝|CD|，又|AB|＝|AD|，故四边形ABCD为菱形.

2．下列说法中错误的是(

C

) A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线

D．方向相反的两个非零向量必不相等

[解析]

长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．

3．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是(

D

)

→→A．AD＝BC

→→C．PE＝PF

→→B．AC＝BD

→→D．EP＝PF

→→[解析]

由相等向量的定义，显然EP＝PF．

4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是(

B

) A．CA

C．CB

B．A∩B＝{a} D．A∩B{a} [解析]

因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错．

二、填空题

→→→→→→5．如图ABCD是菱形，则在向量AB、BC、CD、DA、DC和AD中，相等的有__2__对．

→→→→[解析]

AB＝DC，BC＝AD.其余不等．

6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．

[解析]

这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π．

三、解答题

7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

→(1)与AB相等的向量有哪些？

→(2)与AB共线的向量有哪些？

→→(3)若|AB|＝1.5，求|CE|的大小．

→→→→[解析]

(1)与AB相等的向量即与AB同向且等长的向量，有ED，DC．

→→→→→→→→(2)与AB共线的向量即与AB方向相同或相反的向量，有BA，ED，DC，EC，DE，CD，→CE．

→→→→→→(3)若|AB|＝1.5，则|CE|＝|EC|＝|ED|＋|DC|＝2|AB|＝3．

8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？

[解析]

如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC＝2000km．

又∵∠ACD＝45°，CD＝10002，

∴△ACD为直角三角形，即AD＝10002km，∠CAD＝45°．

答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km．

C级

能力拔高

如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是(

C

)

→→A．|AB＝|EF| →→C．BD＝EH

→→B．AB与FH共线

→→D．DC与EF共线

→→[解析]

A一定成立，B一定成立，D因DC与EF一定不共线，故一定不成立，故选C．