复习参考题教案教学设计

第3课时

变量间的相关关系与统计案例

一、基础知识总结复习

1．相关关系与回归方程

(1)相关关系的分类

①正相关：从散点图上看，点散分布在从左下角到右上角的区域内．

②负相关：从散点图上看，点散分布在从左上角到右下角的区域内．

(2)线性相关关系

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

(3)回归方程

①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．

②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：

(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归方程为ybxa，其中，

bnn(xx)(yy)xynxyiiiii1(xx)ii1n2i1nxi12inx2xyxyxx22，aybx

b是斜率，a是y轴上的截距．b>0正相关，b<0负相关．

③样本中心：

(x,y)叫做具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的样本点的中心．

(4)样本相关系数：

r(xx)(yy)iii1n(xix)2(yiy)2i1i1nnxyxy(x2x)(y2y)22，

用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱．

①当r＞0时，表明两个变量正相关；

②当r＜0时，表明两个变量负相关；

③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近0，

表明两个变量的线性相关性越弱．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强

的线性相关关系．

（5）相关指数R2：

①

R12(yy)iin22（线性回归模型中0≤R≤1，且R越大拟合效果越好）. (yy)iii1ni1n22 ②在含一个解释变量的线性相关关系中，Rr，残差平方和越小，R越大. 222（6）总偏差平方和、残差平方和、回归平方和

总偏差平方和：(yiy)；残差平方和(yiyi)；回归平方和(yiy)2. 22i1i1i1nn 残差的平方和越小，观测值更接近预报值，拟合效果越好，相关性也越强，预报更准确.

2．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．

(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2，则样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

y1

a

c

y2

b

d

bd

总ab

cd

计

x1

x2

总随机变量K2计

ac

abcd

n(adbc)2

(其中nabcd为样本容量)，则利用独立性检验判(ab)(ac)(bd)(cd)2断表来判断“X与Y的关系”．

K越大，X与Y的无关性越小，相关性越强.

2P(K≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.005

0.010

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

7.879

6.635

10.828

二、基础知识过关

判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×) (2)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示．(√) (3)通过回归方程ybxa可以估计和观测变量的取值和变化趋势．(√) (4)任何一组数据都对应着一个回归直线方程．(×)有线性和非线性拟合

(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．(√) (6)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√) (7)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√) (8)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(C)之间的关系，得回归方程y2.352x147.767，

则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．(×)，只能预报不能确定

(9)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(×)只能说相关的可能性大，但不能预报优秀程度

(10)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越小(×)．应越大

三、典型例题与练习

一、相关关系的判断

1.利用散点图判断

2.利用相关系数判断

[例1](1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)

(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(

) A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解：由图1可知，各点整体呈递减趋势，

x与y负相关；由图2可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．选C

(2)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(

) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1

B．r4＜r2＜0＜r1＜r3

C．r4＜r2＜0＜r3＜r1

D．r2＜r4＜0＜r1＜r3

解：因为正相关r>0，负相关r<0，

∴r1>0，r3>0 ，r2<0，r4<0

又因为相关性越强，r越大，从散点看（1）（2）相关性强，图象近似成直线了，|r2|>|r4|

∴r2

①x，y是负相关关系；

②在该相关关系中，若用yc1ec2x拟合时的相关

2指数为R12，用拟合时的相关指数为R2，

2则R12>R2；

③x、y之间不能建立回归直线方程．

解：①显然正确；由散点图知，用yc1ec2x拟合的效果比用ybxa拟合的效果要好，

2

∴R12>R2，故②正确；x，y之间能建立回归直线方程，只不过预报精度不高，故③不正确．故填：①②

2．如图所示，有A，B，C，D，E五组数据，去掉________组数据后，

剩下的四组数据具有较强的线性相关关系．

解：因为散点图呈带状区域时有较强的线性相关关系，

带关区域越窄，相关性越强，故去掉D组数据．填写答案：D

二

线性回归分析

1.求线性回归方程并分析

2.利用非线性回归方程并分析

[例2]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：yi9.32，tiyi40.17, i1i177(yy)ii1720.55，72.646. 参考公式：相关系数r(tt)(yy)iii1n(tt)(yy)2iii1i1nn

2回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b(ti1nit)(yiy)(ti1n，aybt

2t)i7解：(1)

由折线图中数据得t4，∴(tit)28，∵2i1(yy)ii1720.55

∴(tt)(yy)2iii177720.55271.12.6462.9106

7i117又∵(tit)(yiy)tiyi7ty，yi9.32，∴yiy

7i1i1i1i12.890.993

2.9106i1i1i1因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

77179.32(2)

∵yi9.32，∴yyi1.33，又∵(tit)228，

7i17i1i172.890.1，0

∴(tit)(yiy)2.89，

∴b28i17∴(tit)(yiy)tiyityi40.1749.322.89，r777∴aybt1.330.1040.93

所以，y关于t的回归方程为y0.930.1t. 根据年份代码，2016年对应t＝9，y0.930.1091.83

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．

练习．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣

传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年

销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的

影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量

yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得

到下面的散点图及一些统计量的值．

18

表中ixi，i，

8i1

(1)根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x

的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率

和截距的最小二乘估计分别为：

(uuii1nii1n)vi(v2)，vu

(uu)解：(1)由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2)先作变换，令w＝x，则ycd，所以先建立y关于w的线性回归方程．

根据题目所给出的统计量有：d()(yy)iii12()ii188108.868

1.6

∵6.8y,∴cyd563686.8100.6，∴y100.668，

5，63因此y关于x的回归方程为y100.668x. (3)①由(2)知，

y100.668x，所以当x＝49时，

年销售量y的预报值y100.66849576.6，∵z0.2yx

∴年利润z的预报值z0.2576.64966.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值：∵z0.2(100.668x)xx13.6x20.12

13.66.8时，即x46.24时，z取得最大值．

所以当x2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

三、独立性检验

1.列2×2列联表

2.求K2值并进行独立性检验

[例3]

为了解某地区观众对某大型综艺节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众观看该节目的场数与所对应的人

数的表格：

10

11

12

13

14 场数

9

5 人数

10

18

22

25

20

将收看该节目场数不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成如下2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为是否为“歌迷”与性别有关？

非歌迷

歌迷

总计

男

女

总计

(2)将收看该节目所有场数(14场)的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

注：

0.10

0.05 P(K2≥k0)

k0

2.706

3.841 nad－bc22K＝，n＝a＋b＋c＋d. a＋bc＋da＋cb＋d解：(1)由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，非歌迷有75人，哥歌迷中有10名女性，所以男歌迷有15人，又因为100名观众中有55名女性，所以非歌迷中有45名女性，所以非歌迷的男性有30名，从而完成2×2列联表如下：

非歌迷

歌迷

总计

30

15

45 男

45

10

55 女

75

25

100 总计

100(30104515)21002K3.030<3.841

7525554533所以我们没有95%的把握认为是否为“歌迷”与性别有关．

(2)由统计表可知，“超级歌迷”有5人，其中2名女性，3名男性，

记“从“超级歌迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众”的事件为A，

211 因为从5名歌迷中任选2人的不同选法有C510种，其中有一名是女性的选法有C3C26种，

1620.7.

有两名女性的选法有C21种， ∴P(A)10

[注]

：

1.独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2×2列联表．

nad－bc22(2)根据公式K＝计算K2的值．

a＋bc＋da＋cb＋d(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断

2．两个分类变量x和y是否有关系的判断方法

(1)当K2≤2.706时，没有充分的证据判定变量x，y有关联，可以认为变量x，y没有关联；

(2)当K2＞2.706时，有90%的把握判定变量x，y有关联；

(3)当K2＞3.841时，有95%的把握判定变量x，y有关联；

(4)当K2＞6.635时，有99%的把握判定变量x，y有关联；

(5)当K2＞10.828时，有99.9%的把握判定变量x，y有关联．

练***家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女学生中各抽取50名同学调查他们对莫言作品的了解程度，结果如下：

阅读过莫言的作品数(篇)

男生

女生

0～25

3

4

26～50

6

8

51～75

76～100

101～130 11

13

18

15

12 10

(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；

(2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？

非常了解

一般了解

总计

男生

女生

总计

2nad－bc附：K2＝

a＋bc＋da＋cb＋d0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.05

0.010 P(K2≥k0)

0.50

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635 解：(1)由抽样调查表可知，学生阅读莫言作品在50篇以上的人有79人，所以估计该校学79生阅读莫言作品超过50篇的概率约为100. (2)因为阅读超过75篇的男生有30人，女生有25人，阅读不超过75篇的男生有20人，女生有25人，所以列联表如下：

非常了解

一般了解

总计

30

20

50 25

25

50 55

45

100 100(30252520)210021.01<1.323

根据列联表数据得：K5545505099所以没有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关．

男生

女生

总计