探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计方案

1.4.1

正弦、余弦函数的图象（第一课时）

一、教学用具准备：

学生：沙摆实验；直尺、圆规

教师：多媒体

二、学习目标

1、理解正弦函数、余弦函数的几何法、五点法作图；

2、通过例题和练习能熟练的掌握正余弦函数图像的画法（包括平移、对称）

3、通过课后小练达到能利用函数图像解决复杂的问题的目的.

三、重点和难点：

重点：

正弦函数、余弦函数图像，以及“五点作图法”。

如何突出重点：

1)、让学生充分的参与 2)、采用类比，突出两种曲线的相同与不同之处。

3)、多层次练习，通过循环反复、螺旋递进的方式进行练习，使学生在练习中体会正弦曲线、余弦曲线的形状，从而完成对教学重点的突出

难点：

（1）、利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象；

（2）、

利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线；

如何突破难点：

（1)、充分复习正弦线、函数图象的变换等知识

（2)、认真梳理好讲解的顺序 （3)、利用多媒体、几体画板、实物教具等手段

四、教法、学法

教法：主要以引导启发——交流互动——合作探究的形式来进行教学。

1、计算机辅助教学

借助多媒体、几何画板引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像。

2、讨论式教学

通过观察“正弦函数的几何作图法”课件的演示，让学生分组讨论、交流、总结。

3、讲议结合教学

教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。

4、分层教学

提问分层、评价分层、作业分层，注意面向全体学生，调动不同层次学生的积极性。

学法：

独立思考

认真观察

分组讨论

1

五、学习内容及学习过程

阅读教材30—32页内容，回答问题（正弦函数、余弦函数的图像）

问1：书上给出做正弦余弦函数的几种方法？（实验法，描点法，几何法，五点法）

问2：什么叫几何法？

问3：什么叫五点法？

六、探究过程：

●知识探究一：y=sinx（或y=cosx）是函数？

1、正弦线、余弦线：

设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有sinyxMPcosOMrr，

有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

2、函数定义中，A、B集合必须是什么？（非空数集）

3、为什么说y=sinx（或y=cosx）是函数？

4、遇到一个新函数，它总具有许多基本性质，要直观、全面了解基本特性，我们应从哪个方面入手？（图象）

5、必修1中研究过哪些函数性质（定义域，值域，单调，奇偶，最值，特殊点），三角函数有别于上述的特殊性质吗？（周而复始的变化规律----周期性）

●知识探究二：沙摆实验------正弦、余弦函数图象的直观印象

沙摆实验（视频）

思考：

有什么办法画出该曲线的图象？

●知识探究三：描点法

思考1：作函数图象最原始的方法是什么？

（描点法）

思考2：描点法的一般步骤？（列表、描点、连线）

思考3：先画哪一段（区间）的函数图象？

kz与0,2（根据三角函数“终边相同的角有相同的正弦值”得2k,2(k1)，2

内的图象是完全一致的，所以可先画出0,2的函数图象.）

思考4：考虑ysinx在x0,2上的函数图象时，如何取点？

引导学生从熟悉的特殊点出发，寻找该范围内的点并列表（如下，共12个点）. x y 0 0 

6

3

2……

……

5

311

62

1

23

1 23

1

0 22

学生开始建立直角坐标系，并描点作图（展示学生作图作品）。

思考5：图象美观吗？光滑吗？是什么原因造成的？

（无论是用计算器还是查表得到的都是近似值，得到的函数图象也只是函数的大致图象；再加之描点时的误差，所以画出的图象误差大。）

●知识探究四：几何法

思考1：代数上不能准确的描出点的位置，那几何中是否存在正弦值的准确表示呢？

（建立单位圆中的三角函数线与三角函数图象之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图象的方法）

思考2：正弦线有周而复始的变化规律，因此可以先在区间[0，2]上作出图象。那么，应当如何利用正弦线找出正弦函数图象上的一些点吗？

（进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数的图象）

（学生积极思考，各抒己见，相比度量来说平移的效果更好。为方便平移，可以将单位圆放在直角坐标系的左边。）

思考3：为什么要从单位圆与x轴的交点A开始，将单位圆分成12等份？

（正弦线的特殊位置具有代表性，这样作出的图象比较准确）

思考4：用单位圆中正弦线表示正弦的方法,

如何作出点

(,sin)

？

66

？

练习：用单位圆中正弦线表示正弦的方法作出点

(,sin)33思考5：请按照教科书叙述的步骤，描出12个点，作出函数ysinx,x0,2的图象。

学生在练习本上尝试用正弦线表示点的位置，体会平移的过程，最后利用光滑的曲线将各点连接。

老师通过多媒体动态演示。

思考6：如何作出ysinx,xR的图象？

3

老师通过多媒体动态演示。

●知识探究五：五点作图法

思考1：比较一下描点法和几何法各自的优点和不足. （描点法——容易操作，但图象不够准确；几何法——图象细腻准确，但作图过于繁琐.）

思考2：能否在精度要求不高的情况下快速地画出正弦函数的大致图象？可提示学生类比二次函数大致图象的做法，寻找图象中起关键作用的点。

学生分组讨论，经讨论后发现只要确定了图象的最高点，最低点和与x 轴的交点即(0,0),(2,1),(,0),(3,1),(2,0)，就可以确定函数的大致图象。

2归纳结论：

y

1

●

o

-12

-



●

322●

由五点可以基本确定函数ysinx，x0,2图象的形状了。我们把这种方法称为“五点作图法”。

●知识探究六：y=cosx图象

思考1：正弦函数的图象已经完成，那余弦函数的图象呢？

老师引导学生利用类比的思想探究余弦函数的图象.。

讨论方向如下：

（1）、用余弦线做余弦函数图象，即几何作图法。

（2）、根据正（余）弦函数的关系，利用图象变换的思想作图。

（3）、找关键点，用“五点法”作图。

方法（1）和（2）可以得到函数的精确图象，方法（3）能得到函数的大致图象。

思考2：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

（根据诱导公式cosxsin(x得余弦函数y=cosx的图象。

）

强调：由ysinxycosx的

平移量是不惟一的，方向也可左可右．

4

-x

●

2),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即2

思考3：类比正弦函数的“五点法”，能得出余弦函数在0,2上的图象吗？

(0,1) (3,0) (,-1) (,0) (2,1) 22七、例题示范

例1、用五点法作出函数y1sinx,x0,2的函数图象.

学生自主练习，可从描点和变换两个方面进行思考，熟悉“五点法”的同时，也进一步体会图象变换的思想，为下一步的探究提供理论基础。

例2 、画出函数ycosx，x[0, 2]的简图. 学生练习画图，将函数与余弦函数图象进行比较，还可以从中体会图象的变换过程.

例3 、根据余弦函数图象写出使不等式cosx＞1，x∈[0，2π]成立的x的取值集合

2

练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数

y= sinx，x[0, 2]

和

y= cosx，x[ 八、反思小结

小结：

①、正弦函数图象的几何作图法

②

、正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）

③

、由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象

请同学们谈谈这节课的学习有什么感受？

（参考内容：1、知识结构方面，2、探究方向与解题方法，3、数学思想的渗透）

九、作业

1、P34

练习

第2题

不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。

小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。

2、画出下列函数的简图

（1）y=1- sinx,

x∈[0,2π]

（2）y=3cosx+1，x∈[0,2π]

并简单说说所画简图分别与函数y=sinx

x∈[0,2π]、y=cosx x∈[0,2π]的图象有什么关系？

5

32,2]的简图：

备选例题

1、用五点法画出下列函数的图像

（1）、y=2-sinx，

x∈[0,2π]；（2）、y=0.5+sinx，

x∈[0,2π]

2、方程2x=cosx的解得个数有几个？

3、画出函数y=2|sinx|的简图. 4、方程sinx=x/10的根的个数为多少? 5、用五点法做函数y=2sin2x图像时，首先应描出的五点的横坐标是多少？

6、求方程lgx=sinx实数根的个数.

6