小结名师教学设计2

章末复习

学习目标

1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用回归直线方程进行预测．

1．抽样方法

(1)用随机数表法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．

N(2)用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝；如果总体容nK量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝(其中K＝Nn－多余个体数)．

(3)三种抽样方法的异同点

类别

简单随机抽样

抽样过程中每系统抽样

个个体被抽到的可能分层抽样

性相同

将总体分成几层，按各层个体数之比抽取

将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取

在起始部分抽样时，采用简单随机抽样

在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

共同点

各自特点

从总体中逐个抽取

相互联系

适用范围

总体中的个体数较少

总体中的个体数较多

总体由差异明显的几部分组成

2.用样本估计总体

(1)用样本估计总体

用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图．当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用茎叶图刻画数据比较方便．

(2)样本的数字特征

样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．

3．变量间的相关关系

(1)两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系)．

(2)求回归直线方程的步骤：

①先把数据制成表，从表中计算出x，ynn2，∑xi，∑xiyi；

i＝1i＝1nb＝∑xy－nx

y，∑x－nx②计算回归系数a，b.公式为a＝y－bx.^i＝1ii^^ni＝12i2^^^^^

③写出回归直线方程y＝bx＋a.

题型一

用样本的频率分布估计总体

例1

某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：

40．03

40.00

39.98

40.00

39.99

40.00

39.98 40．01

39.98

39.99

40.00

39.99

39.95

40.01 40．02

39.98

40.00

39.99

40.00

39.96 (1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；

分组

[39.95,39.97)

[39.97,39.99)

[39.99,40.01)

[40.01,40.03]

合计

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品．若这批乒乓球的总数为10 000，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数．

解

(1)频率分布表如下：

分组

[39.95,39.97)

[39.97,39.99)

[39.99,40.01)

频数

2

4

10

频率

0.10 0.20 0.50 频数

频率

[40.01,40.03]

合计

频率分布直方图如图：

4

20

0.20 1.00

17(2)∵抽样的20个产品中在[39.98,40.02]范围内的有17个，∴合格品频率为×100%＝85%. 20∴10 000×85%＝8 500.故根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格个数为8 500. 反思与感悟

总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等．通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体．

跟踪训练1

为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(

)

A．64

B．54

C．48

D．27 答案

B 解析

[4.7,4.8)之间频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22，

∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54. 题型二

用样本的数字特征估计总体的数字特征

例2

某市共有50万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查，抽样调查的结果如表：

家庭人均月收入/元

工作人员数

管理人员数

[200，500) [500，800)

20

5

60

10

[800，

[1 100，

1 100) 200

50

1 400)

80

20

[1 400，1 700] 合计

40

15

400 100

求：(1)工作人员家庭人均月收入的估计值x1及方差的估计值s21；

(2)管理人员家庭人均月收入的估计值x2及方差的估计值s22；

(3)总体人均月收入的估计值x及总体方差的估计值s2. 解

(1)x1＝s21＝1×(20×350＋60×650＋200×950＋80×1 250＋40×1 550)＝995，

4001×[20×(350－995)2＋60×(650－995)2＋200×(950－995)2＋80×(1 250－995)2＋40×(1 400550－995)2]＝83 475. 1(2)x2＝×(5×350＋10×650＋50×950＋20×1 250＋15×1 550)＝1 040，

100s22＝1×[5×(350－1 040)2＋10×(650－1 040)2＋50×(950－1 040)2＋20×(1 250－1 040)2＋10015×(1 550－1 040)2]＝90 900. (3)x＝s2＝1×(25×350＋70×650＋250×950＋100×1 250＋55×1 550)＝1 004，

5001×[25×(350－1 004)2＋70×(650－1 004)2＋250×(950－1 004)2＋100×(1 250－1 004)2＋50055×(1 550－1 004)2]＝85 284. 反思与感悟

样本的数字特征分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的特征数，例如平均数；另一类是反映样本数据波动大小的特征数，例如方差和标准差．通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，从而实现对总体的估计．

跟踪训练2

对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测数据如下：

甲

乙

问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？

解

甲的平均成绩为x甲＝74，乙的平均成绩为x乙＝73.所以甲的平均成绩好．

11222甲的方差是s甲＝[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是s2乙＝×[7＋(－13)55＋(－3)2＋72＋22]＝56. 2因为s2甲>s乙，所以乙的各门功课发展较平衡．

60

80

80

60

70

70

90

80

70 75 题型三

用回归直线方程对总体进行估计

例3

某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x(个)

2

3

4

5

加工的时间y(小时)

2.5

3

4

4.5 ^i＝1xiyi－nx

y^n2^n(注：b＝，a＝y－b

x) i＝1xi2－nx

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

^^^(2)求出y关于x的回归直线方程y＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少小时？

解

(1)散点图如图．

(2)由表中数据得：xiyi＝52.5，

i＝14x＝3.5，y＝3.5，x2i＝54，

i＝1^^4∴b

＝0.7，∴a＝1.05，

^∴y＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．

(3)将x＝10代入回归直线方程，

^得y＝0.7×10＋1.05＝8.05，

故预测加工10个零件约需要8.05小时．

反思与感悟

对两个变量进行研究，通常是先作出两个变量之间的散点图，根据散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系，如果具有，就可以应用最小二乘法求回归直线方程．由于样本可以反映总体，所以可以利用所求的回归直线方程，对这两个变量所确定的总体进行估计，即根据一个变量的取值，预测另一个变量的取值．

跟踪训练3

理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：

年份202x(年)

人口数y(十万)

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)指出x与y是否线性相关；

^0

5

1

7

2

8

3

11

4 19 (3)若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程y^^＝bx＋a；

(4)据此估计2025年该城市人口总数．

(参数数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30) 解

(1)数据的散点图如图：

(2)由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关．

11(3)由表知x＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，y＝×(5＋7＋8＋11＋19)＝10. 555^i＝1xiyi－5x

y^^∴b＝i＝1x2i－5x5＝3.2，a＝y－bx＝3.6，

2^∴回归直线方程为y＝3.2x＋3.6. ^(4)当x＝5时，y＝19.6(十万)＝196万．

故2025年该城市人口总数约为196万．

1．10个小球分别编有号码1,2,3,4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，则数0.4是指1号球占总体分布的(

) A．频数

频率C．

组距答案

B 2．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是(

) A．1

C．3

答案

B 解析

设这10个数为a1，a2，…，a10，

22则有a21＋a2＋…＋a10＝200，

B．频率

D．以上都不对

B．2 D．4 且a1＋a2＋…＋a10＝40，

a1－42＋a2－42＋…＋a10－42所以

1022a21＋a2＋…＋a10－8a1＋a2＋…＋a10＋160＝

10＝200－8×40＋160＝4，∴标准差为4＝2. 103．某班50名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是____________________________________________________．

答案

35 解析

低于70分的频率为(0.012＋0.018)×10＝0.3，所以不低于70分的频率为0.7，故不低于70分的人数为

50×0.7＝35. ^4．某农田施肥量x(单位：kg)与小麦产量y(单位：kg)之间的回归直线方程是y＝4x＋250，则当施肥量为50 kg时，可以预测小麦的产量为________kg.

答案

450 ^解析

直接将x＝50代入回归直线方程中，可得y＝4×50＋250＝450. 5．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组的人数相同，第六组的人数为4.

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．

解

(1)第六组的频率为0.04×2＋0.06)＝0.06. (2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，

身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，

身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，

身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，

由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32＜0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52＞0.5，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，

则170＜m＜175，

由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，

所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5，

由直方图得后三组频率之和为0.06＋0.08＋0.008×5＝0.18，

所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.

1.用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个特点：

1纵轴表示频率/组距；2频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率之比；3直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率，所有的小长方形的面积之和等于1，即频率4＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋50

之和为1. 2.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征，利用它们可对总体进行一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势，方差和标准差可描述波动大小.

一、选择题

1．在某次商品促销活动中，某人可得到4件不同的奖品，这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取决定．用系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号，有可能的是(

) A．3,9,15,11

C．8,20,32,40

答案

D 解析

由系统抽样的方法可知，这个人所得到的4件奖品的编号的间隔相等，且平均分布在1～10,11～20,21～30,31～40中，故A，B，C均不正确，D正确．

2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n等于(

) A．100

B．150

C．200

D．250 答案

A n70解析

∵＝，∴n＝100. 3 500＋1 5003 5003．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为x，则(

) B．3,12,21,40 D．2,12,22,32

A．me＝mo＝x

C．me＜mo＜x

答案

D 5＋6解析

30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数me＝＝5.5，众数mo＝5，

23×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2179平均值x＝＝，∴mo

D．mo＜me＜x

4．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(

) A．50

B．40

C．25

D．20 答案

C 1 000解析

间隔＝＝25. 405．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于(

) A．54

B．90

C．45

D．126 答案

B 183解析

分层抽样的核心是等比例抽取．所以＝，解得n＝90. n156．有一容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为(

)

A．18

B．36

C．54

D．72 答案

B 解析

∵样本数据落在[10,12]内的频率为

1－2×(0.02＋0.05＋0.15＋0.19) ＝1－0.82 ＝0.18，

∴频数为200×0.18＝36. 7．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为2，则第三组的频数为(

) 9A．16

B．24

C．32

D．48 答案

B 频数2解析

因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16.所以第三组的频数为729样本容量－2×8－2×16＝24.

8．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为(

) A.x，s2＋1002

C.x，s2

答案

D 解析

设工资增加后员工下月工资的平均数和方差分别为y，s2y，据已知易得

y＝x1＋x2＋…＋x10＋10×100＝x＋100，

10B.x＋100，s2＋1002

D.x＋100，s2

[x1＋100－x＋100]2＋…＋[x10＋100－x＋100]22又sy＝

10＝s2，故选D. 二、填空题

9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：

甲

乙

如果甲、乙两人中只有1人入选，那么入选的最佳人选应是________．

答案

甲

12解析

x甲＝9，x乙＝9，s2甲＝×2＝，

5516s2乙＝×6＝，甲的方差较小，成绩较稳定．

5510.某校高中年级开设了丰富多彩的课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图)．s1，s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则s1______s2.(填“＞”“＜”或“＝”) 10

10

8

10

9

7

9

9

9 9

答案

＜

解析

标准差反映了数据的离散程度．显然甲的学分更集中．也可用公式计算得出．

11.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．

答案

24

23 1解析

x甲＝(19＋18＋20×2＋21＋22＋23＋31×2＋35)＝24，

101x乙＝(19＋17＋11＋21＋22＋24×2＋30×2＋32)＝23. 1012．某电子商务公司对10 000名网络购物者在2016年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中的a＝________；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．

答案

(1)3

(2)6 000 解析

由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0．6×10 000＝6 000. 三、解答题

13．下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表. 分组

[51.5,57.5)

[57.5,63.5)

[63.5,69.5)

[69.5,75.5)

[75.5,81.5)

[81.5,87.5)

[87.5,93.5]

(1)作出频率分布直方图；

(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数；

(3)已知标准差s≈8.784，估计每分钟脉搏跳动次数的范围．

解

(1)频率分布直方图如图．

频数

4

6

11

20

11

5

3

频率

0.067

0.1

0.183

0.334

0.183

0.083

0.05

频率/组距

0.011 0.017 0.031 0.056 0.031 0.014 0.008

(2)由各组中值估计总体平均数为(54.5×4＋60.5×6＋66.5×11＋72.5×20＋78.5×11＋84.5×5＋90.5×3)÷60＝72. (3)∵s≈8.784，

∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[x－s，x＋s]，即[63.216,80.784]，取整数为[63,81]．

14．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；

(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．

解

(1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标，

∴众数为m＝75. 前三个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4. ∵中位数平分直方图的面积，

0.5－0.4∴n＝70＋×10≈73.3. 0.3(2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，

∴抽样学生成绩的合格率是75%. 利用组中值估算抽样学生的平均分为

45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 估计这次考试的平均分是71分．